For many Hamiltonian PDEs, the long-time evolution can be characterised by the corresponding finite-dimensional dynamical systems. In this talk, we present how this mechanism works through reducibility and almost reducibility in quantum harmonic oscillators.
In the limit of vanishing but moderate external magnetic field, we derived a few years ago together with S. Conti, F. Otto and S. Serfaty a branched transport problem f rom the full Ginzburg-Landau model. In this regime, the irrigated measure is the Lebesgue measure and, at least in a simplified 2d setting, it is possible to prove that the minimizer is a self-similar branching tree. In the regime of even smaller magnetic fields, a similar limit problem is expected but this time the irrigation of the Lebesgue measure is not imposed as a hard constraint but rather as a penalization. While an explicit computation of the minimizers seems here out of reach, I will present some ongoing project with G. De Philippis and B.
Nous nous intéressons ici aux équations de Schrödinger avec une non-linéarité cubique (NLS) dans $\mathbb{R}^d$. Après avoir rappelé la théorie de Cauchy probabiliste développée par Bényi, Oh et Pocovnicu en 2015 dans des régimes sur-critiques, nous précisons l'instabilité par « inflation de normes » qui se produit dans de tels régimes.
Dans cet exposé on va construire des mesures de Gibbs et des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony avec dispersion fractionnaire (sur le tore). On discutera aussi du problème de construire des mesures Gaussienne quasi-invariantes pour des autres modèles dispersifs. En collaboration avec Giuseppe Genovese et Nikolay Tzvetkov.
In the 1960s John and Nirenberg introduced the space of bounded mean oscillation functions $BMO$ in connection with differential equations. Since that time, and because of the diverse and direct relationship with other relevant objects in Harmonic Analysis, such as duality of Hardy spaces, upper endpoint estimates of Calderón-Zygmund operators, and the $L^p$ estimates of Commutators of those operators, $BMO$ spaces have been objective of much study. In this talk, we will discuss necessary and sufficient (geometric) conditions in a Banach function space $X$ in such a way that $BMO$ and $BMO_{X}$ are equivalent spaces. The new results that we will present in this talk are based on joint works with E. Lorist and A. Lerner.
Je vais expliquer pourquoi les solutions du système de Dirac-Klein-Gordon convergent dans une limite de fort couplage vers celles de l'équation de Dirac non-linéaire. Je vais aussi traiter l'analogue 'many-body' de cette question. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jonas Lampart (Dijon), Loïc Le Treust (Marseille), et Simona Rota Nodari (Nice).
On introduira et on discutera une classe d'équations de Vlasov singulières (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force), dont on motivera l'étude par plusieurs exemples issus de la physique. On étudiera en particulier l'équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale (travail avec Kleber Carrapatoso et Frédéric Rousset).
Dans ce projet, on considère l’opérateur Schrödinger magnétique semi-classique en dimensions 2, dans le cas où le champ magnétique s’annule le long d’une courbe fermée lisse. En supposant que cette courbe possède un axe de symétrie, on prouve que l’effet tunnel se produit. Le résultat principal est de trouver une approximation explicite de la différence entre les deux premières valeurs propres. Cette différence permet de caractériser la période de l’effet tunnel.
Uniqueness and reconstruction in the three-dimensional Calderón inverse conductivity problem can be reduced to the study of the inverse boundary problem of a Schrödinger operator with a real potential. Due to the lack of a rigorous definition, the Born approximation has been relegated to a marginal place in the reconstruction problem. In this talk we will introduce the Born approximation for Schrödinger operators in the ball, which amounts to studying the linearization of the inverse problem. We first analyze this approximation for real and radial potentials in any dimension >2. We show that this approximation satisfies a closed formula that only involves the spectrum of the Dirichlet-to-Neumann map, and which is closely related to a particular moment problem.
