Séminaire d'analyse (archives)

Je discuterai d'un travail en collaboration avec Yann Chaubet et Daniel Han-Kwan. Nous nous sommes intéressés à la dynamique en temps long de l'équation de Vlasov non-linéaire sur une variété à courbure négative lorsque le noyau d'interaction est lisse. J'expliquerai que, pour des petites données initiales lisses et supportées loin de la section nulle, les solutions de cette équation convergent à vitesse exponentielle vers un état d'équilibre du problème linéaire.

I will discuss how superfluidity manifests itself in the spectrum of the Hamiltonian for a test particle travelling through a Bose Einstein condensate. In the Bogoliubov-Fröhlich polaron model, a stable polaron with momentum P corresponds to a ground state of the Hamiltonian at fixed total momentum. I will explain a recent result in collaboration with Benjamin Hinrichs, which shows that a ground state eigenvalue exists if the momentum is less than mc, where m is the particle mass and c is the slope at zero of the dispersion relation of the Bogoliubov phonons.

The spectral theory of the Laplacian on hyperbolic surfaces is a well-studied topic. There are many classical results in various settings (compact, finite volume, infinite volume) on the nature of the spectrum. We will review some of the Theorems on hyperbolic surfaces and mention a few results on higher rank locally symmetric spaces.

We review old and new results on a family of minimization problems, where the minimization space is a set of N orthonormal functions in L2 (the fermions), which interact locally. Such problems arise naturally when we want to optimize a sum of eigenvalues (Lieb-Thirring inequality). We will explain how to show the existence of minimizers for this kind of problem, and give several examples. If time allows, we will display an ad hoc problem where the N = 2 problem is well-posed, but the N = 1 problem has no minimizer.

Durant ce séminaire nous étudierons la théorie de la diffusion pour une famille d'opérateurs de Schrödinger. Ces opérateurs possèdent des spectres présentant un changement de multiplicité et donc des seuils plongés. Certains opérateurs possèdent également des résonances aux seuils. Nous construirons alors une C-algèbre à laquelle appartient les opérateurs d'onde. L'étude du quotient de cette algèbre par l'idéal des opérateurs compacts mène directement à l'existence de théorèmes d'indice en théorie de la diffusion. Ces théorèmes peuvent alors s'interpréter comme des théorèmes de Levinson en présence de seuils plongés et de discontinuités de la matrice de diffusion. La dépendance de ces résultats en fonction de certains paramètres sera également discutée. En particulier, une surface de résonances sera mise en évidence, probablement pour la première fois. Aucun prérequis C-algébrique n'est nécessaire pour cette présentation.

For general initial data without any structural assumption, the Prandtl equations are usually ill-posed in the Sobolev space because the loss of tangential derivatives occurs in a non-local term. We will study the well-posedness property of the Prandtl equations in the critical Gevrey space of index 2. The proof combines a new cancellation mechanism with the abstract Cauchy-Kovalevskaya theorem, to overcome the difficulty of the loss of derivatives in the system.

We study the Pauli operator in a two-dimensional, connected domain with Neumann or Robin boundary condition. We prove a sharp lower bound on the number of negative eigenvalues reminiscent of the Aharonov-Casher formula. We apply this lower bound to obtain a new formula on the number of eigenvalues of the magnetic Neumann Laplacian in the semi-classical limit. Our approach relies on reduction to a boundary Dirac operator. We analyze this boundary operator in two different ways. The first approach uses Atiyah-Patodi-Singer index theory. The second approach relies on a conservation law for the Benjamin-Ono equation. This is a joint work with S. Fournais, R. L. Frank, M. Goffeng, M. Sundqvist.

Nous prouvons un théorème d'interpolation pour des fonctionnelles nonlinéaires définies sur des échelles d'espaces de Banach qui généralisent les espaces de Besov. La démonstration est auto-contenue et indépendante de tout résultat antérieur concernant la théorie de l'interpolation. Comme corollaire, nous en déduisons un théorème de continuité automatique pour le flot d’une équation quasi-linéaire. Précisément, nous montrons que la continuité de celui-ci découle automatiquement des estimations qui sont habituellement prouvées pour prouver l’existence et l’unicité des solutions.

Je vais présenter un travail en collaboration avec Simon Machado (ETH Zürich) dans lequel nous prouvons une borne supérieure sur la multiplicité des premières valeurs propres du Laplacien sur une surface de courbure négative, en fonction de son genre. Notre méthode, qui repose sur des estimées du noyau de la chaleur et un argument géométrique provenant de la théorie des graphes, permet aussi de prouver une borne supérieure sur le nombre de valeurs propres dans une petite fenêtre spectrale, et cette dernière borne est quasiment optimale. Enfin, cette méthode s'étend aux variétés de dimension plus grande que 2.

La théorie du chaos quantique vise à décrire les états de la mécanique quantique dans un environnement où la dynamique classique est chaotique. L'exemple phare est celui de l'opérateur Laplace-Beltrami sur une variété lisse hyperbolique compacte. Il est montré que la dynamique classique chaotique sous-jacente sur de telles variétés entraîne des propriétés de délocalisation pour la plupart des fonctions propre associées.

Dans cet exposé, nous considérerons un modèle jouet pour cela : nous montrerons comment les états lagrangiens propagés par le semi-groupe induit par un opérateur de Schrödinger aléatoire approprié converge localement vers un stationnaire champ gaussien isotrope monochromatique. Cela nous apportera également des bornes améliorées sur la norme sup des fonctions propres.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec M. Ingremeau.