Séminaire d'analyse (archives)

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Équation de Schrödinger périodique avec potentiel distribution et mesure invariante

Antoine Mouzard
Etablissement de l'orateur
ENS Paris
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Lieu de l'exposé
salle des séminaires
Résumé de l'exposé
Il y a 30 ans, Bourgain a utilisé les propriétés dispersives de l'équation de Schrödinger périodique, motivé par un travail de Lebowitz, Rose et Speer sur la mesure invariante associée à l'équation. Cela lui a ensuite permis de construire des solutions globales pour des conditions initiales peu régulières distribuées selon cette mesure invariante. Dans cet exposé, je présenterai un résultat analogue en présence d'un potentiel distribution. En particulier, l'utilisation d'outils d'analyse harmonique permet d'obtenir le caractère bien posé local sur le support de la mesure invariante malgré l'irrégularité du potentiel. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Arnaud Debussche.

Inégalité de Faber-Krahn inverse pour le laplacien magnétique

Corentin Lena
Etablissement de l'orateur
Université de Padoue
Date et heure de l'exposé
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Résumé de l'exposé

Le sujet de mon exposé sera les valeurs propres du laplacien magnétique dans un domaine borné du plan, pour un champ magnétique uniforme et des conditions au bord de Neumann. Nous nous intéresserons en particulier à l'inégalité de Faber-Krahn inverse conjecturée par Søren Fournais et Bernard Helffer , selon laquelle parmi tous les domaines simplement connexes d'aire donnée, le disque maximise la première valeur propre. Nous verrons que l'inégalité est vérifiée pour un champ magnétique suffisamment faible (tel que la fonction propre correspondante sur le disque soit radiale). Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Bruno Colbois, Luigi Provenzano et Alessandro Savo.

Initial data for Minkowski stability with arbitrary decay

Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
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Résumé de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Estimée de stabilité locale et dérivation du système SKT

Ayman Moussa
Etablissement de l'orateur
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne Université
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Résumé de l'exposé

Nous commencerons par rappeler l'origine du système de réaction-diffusion " SKT " et les défis à ce jour non résolus concernant celui-ci. L'exposé abordera ensuite un schéma d'approxipation proposé en 2019 par Daus, Desvillettes et Dietert pour construire des solutions. Nous expliquerons comment ce schéma peut, à l'aide d'une estimation de stabilité locale sur le système, conduire à un résultat partiel de dérivation reliant le système SKT à une famille de marches aléatoires répulsives sur un réseau discret. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Bansaye et Felipe Muñoz-Hernández.

Interaction Spin-Orbite pour des spins élevés

Didier Robert
Etablissement de l'orateur
LMJL
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Résumé de l'exposé
On considère l'équation de Schrödinger dépendant du temps $i\hbar \partial_t\psi = \hat{H} \psi$, $\hat{H}$ étant un opérateur (hamiltonien quantique) dans un espace de Hilbert ${\mathcal H}$.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$
$\hat C=(\hat{C}_1, \hat{C}_2, \hat{C}_3)$ sont 3 opérateurs scalaires et $S=(S_1,S_2, S_3)$ 3 matrices hermitiennes de taille $2\sf{s}+1$ vérifiant les relations de commutation adaptées aux générateurs des rotations spatiales.

En choisissant comme données initiales des états cohérents on montre qu'il y a deux régimes critiques suivant la taille de $\sf{s}$ :
$\sf{s}\approx \hbar^{-1/2}$ et $\sf{s}\approx \hbar^{-1}$.

Une approche microlocale à l’équation de Helmholtz

Maxime Ingremeau
Etablissement de l'orateur
Laboratoire J.A. Dieudonné (université Côte d'Azur)
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Résumé de l'exposé

L’équation de Helmholtz, décrivant les ondes dans un régime stationnaire, est très couteuse à résoudre numériquement lorsque la fréquence est élevée. En effet, dans la plupart des approches numériques (comme celle des éléments finis), le nombre de degrés de liberté augmente rapidement avec la fréquence. Nous verrons comment des considérations d’analyse harmonique et d’analyse semiclassique permettent de réduire grandement ce nombre de degrés de liberté. Il s’agit d’un travail en commun avec Théophile Chaumont-Frelet et Victorita Dolean.

[Reporté en mars] Initial data for Minkowski stability with arbitrary decay

Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
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Résumé de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Convexité et comportement en temps long du modèle infinitésimal de Fisher

Vincent Calvez
Etablissement de l'orateur
CNRS, Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique - LMBA
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Résumé de l'exposé
Le modèle infinitésimal de Fisher est un modèle classique d'héritabilité génétique. Il est assimilable à un opérateur de collision homogène de degré un. Nous avons identifié une structure de convexité sous-jacente à cet opérateur, qui est compatible avec une fonction de sélection convexe. Nous en déduisons la relaxation exponentielle asynchrone vers un unique équilibre, mesurée en information de Fisher de type $L^\infty$. Nous utilisons une transformation qui convertit l'opérateur forward, qui n'est ni linéaire, ni conservatif, en un opérateur backward qui est à la fois linéaire et conservatif. Nous utilisons un argument de contraction en distance de Wasserstein $W_\infty$ qui découle lui-même d'un principe du maximum inspiré de Caffarelli sur l'équation de Monge-Ampère.

[en collaboration avec David Poyato et Filippo Santambrogio]