Séminaire d'analyse (archives)

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Initial data for Minkowski stability with arbitrary decay

Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
Date et heure de l'exposé
Lieu de l'exposé
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Résumé de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Estimée de stabilité locale et dérivation du système SKT

Ayman Moussa
Etablissement de l'orateur
Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne Université
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Résumé de l'exposé

Nous commencerons par rappeler l'origine du système de réaction-diffusion " SKT " et les défis à ce jour non résolus concernant celui-ci. L'exposé abordera ensuite un schéma d'approxipation proposé en 2019 par Daus, Desvillettes et Dietert pour construire des solutions. Nous expliquerons comment ce schéma peut, à l'aide d'une estimation de stabilité locale sur le système, conduire à un résultat partiel de dérivation reliant le système SKT à une famille de marches aléatoires répulsives sur un réseau discret. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Bansaye et Felipe Muñoz-Hernández.

Interaction Spin-Orbite pour des spins élevés

Didier Robert
Etablissement de l'orateur
LMJL
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Résumé de l'exposé
On considère l'équation de Schrödinger dépendant du temps $i\hbar \partial_t\psi = \hat{H} \psi$, $\hat{H}$ étant un opérateur (hamiltonien quantique) dans un espace de Hilbert ${\mathcal H}$.
Pour une particule sans spin $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V$ et ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3)$.
En présence d'un spin $\sf{s}\in{\mathbb N}/2$ l'espace de Hilbert devient ${\mathcal H}= L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^{2\sf{s}+1})$ et l'hamiltonien devient matriciel
$$ \hat{H}_{2\sf{s}+1} = ( -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle + V)\mathbb I_{\mathbb{C}^{2\sf{s}+1}} + \hbar\hat{C}\cdot S.$$
$\hat C=(\hat{C}_1, \hat{C}_2, \hat{C}_3)$ sont 3 opérateurs scalaires et $S=(S_1,S_2, S_3)$ 3 matrices hermitiennes de taille $2\sf{s}+1$ vérifiant les relations de commutation adaptées aux générateurs des rotations spatiales.

En choisissant comme données initiales des états cohérents on montre qu'il y a deux régimes critiques suivant la taille de $\sf{s}$ :
$\sf{s}\approx \hbar^{-1/2}$ et $\sf{s}\approx \hbar^{-1}$.

Une approche microlocale à l’équation de Helmholtz

Maxime Ingremeau
Etablissement de l'orateur
Laboratoire J.A. Dieudonné (université Côte d'Azur)
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Résumé de l'exposé

L’équation de Helmholtz, décrivant les ondes dans un régime stationnaire, est très couteuse à résoudre numériquement lorsque la fréquence est élevée. En effet, dans la plupart des approches numériques (comme celle des éléments finis), le nombre de degrés de liberté augmente rapidement avec la fréquence. Nous verrons comment des considérations d’analyse harmonique et d’analyse semiclassique permettent de réduire grandement ce nombre de degrés de liberté. Il s’agit d’un travail en commun avec Théophile Chaumont-Frelet et Victorita Dolean.

[Reporté en mars] Initial data for Minkowski stability with arbitrary decay

Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
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Résumé de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Convexité et comportement en temps long du modèle infinitésimal de Fisher

Vincent Calvez
Etablissement de l'orateur
CNRS, Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique - LMBA
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Résumé de l'exposé
Le modèle infinitésimal de Fisher est un modèle classique d'héritabilité génétique. Il est assimilable à un opérateur de collision homogène de degré un. Nous avons identifié une structure de convexité sous-jacente à cet opérateur, qui est compatible avec une fonction de sélection convexe. Nous en déduisons la relaxation exponentielle asynchrone vers un unique équilibre, mesurée en information de Fisher de type $L^\infty$. Nous utilisons une transformation qui convertit l'opérateur forward, qui n'est ni linéaire, ni conservatif, en un opérateur backward qui est à la fois linéaire et conservatif. Nous utilisons un argument de contraction en distance de Wasserstein $W_\infty$ qui découle lui-même d'un principe du maximum inspiré de Caffarelli sur l'équation de Monge-Ampère.

[en collaboration avec David Poyato et Filippo Santambrogio]

Croisement de trajectoires classiques pour un opérateur de Schrödinger matriciel

Setsuro Fujiié
Etablissement de l'orateur
Ritsumeikan University, Japon
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Lieu de l'exposé
Résumé de l'exposé
On considère un opératreur semiclassique à valeur 2 × 2 matricel, dont
les éléments diagonaux sont des opérateurs de Schrödinger et les éléments
anti-diagonaux sont de petites interactions d’ordre $h$ (paramètre semiclassique). Dans le cas où les trajectoires classiques associées aux opérateurs de Schrödinger se croisent, on voit des phénomènes variées des valeurs propres
et des résonances en limite semiclassique à cause de l’interaction entre les
deux états. Dans l’exposé, nous considérons 3 modèles avec croisement de:
1. deux trajectoires non-captives, qui engendrent des résonances,
2. une trajectoire non-captive et une trajectoire périodique, où les valeurs propres engendrées par la trajectoire périodique deviennent résonances,
3. deux trajectoires périodiques symétriques, où la séparation des valeurs propres est d’ordre polynômiale en $h$.

Poches périodiques et quasi-périodiques en temps

Emeric Roulley
Etablissement de l'orateur
SISSA
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Résumé de l'exposé

Le but de cet exposé et de contextualiser mes recherches portant sur l'existence de structures de type poche pour différents modèles apparaissant en mécanique des fluides ou en théorie cinétiques. Dans une première partie, nous parlerons du cas périodique. Nous présenterons d'abord la notion de poches de tourbillon planaires et discuterons la littérature associée. Puis nous parlerons du cas des équations d'Euler sur la sphère en rotation et finirons par la notion de poches d'électrons. La dernière partie de l'exposé est consacrée à la présentation rapide des résultats obtenus pour les poches quasi-périodiques.