Séminaire d'analyse (archives)

In this talk I shall present constructions of Schrödinger operators with complex-valued potentials whose spectra exhibit interesting properties. One example shows that for sufficiently large $p$, the discrete eigenvalues need not be bounded in modulus by the $L^p$ norm of the potential. This is a counterexample to the Laptev-Safronov conjecture (Comm. Math. Phys. 2009). Another construction proves optimality (in some sense) of generalisations of Lieb-Thirring inequalities to the non-selfadjoint case - thus giving us information about the accumulation rate of the discrete eigenvalues to the essential spectrum. This talk is based on joint works with Jean-Claude Cuenin (Loughborough) and Frantisek Stampach (Prague).

In this talk we discuss dispersive estimates for wave equations with low regularity coefficients. It was shown by Smith and Tataru that wave equations with $C^{1,1}$ coefficients satisfy the same Strichartz estimates as the unperturbed wave equation on $\mathbb{R}^n$, and that for less regular coefficients a loss of derivatives in the data occurs. We improve these results for Lipschitz coefficients with additional structural assumptions. We also discuss perturbation results through paradifferential arguments, and a recently introduced class of function spaces adapted to Fourier integral operators.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $d Xt = -U(Xt) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h \to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique soit invariante par rapport à $e^{-\frac Vh} $. Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h \to 0$. Si le temps le permet, nous regarderons aussi l’extension de ces résultats à certaines dynamiques non elliptiques. (D’après des travaux en collaboration avec Laurent Michel et Jean-François Bony)

Le but de cet exposé est de présenter un résultat de contrôlabilité interne pour des systèmes d'équations d'ondes couplées, posées sur un domaine borné régulier de R^d, avec un contrôle interne agissant sur un sous-ouvert. Plus précisément, on couple un système d'équation d'ondes se propageant à une certaine vitesse avec un autre système d'équations d'ondes, se propageant à une autre vitesse. Le couplage est interne et constant, sous forme cascade, et le contrôle n'intervient que sur certaines des équations.

Dans un premier temps, je donnerai quelques notions de contrôlabilité et des reformulations duales, puis je présenterai le résultat de Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas d'une équation d'onde scalaire.

Dans un second temps, je présenterai le résultat que nous avons obtenu dans le cas système. La principale difficulté est d'identifier un espace d'état raisonnable pour le système. Cet espace d'état fait intervenir différents niveaux d'énergie, mais fait aussi des conditions de compatibilité plus surprenantes. La deuxième étape est de démontrer une CNS de contrôlabilité de type ​condition de Kalman spectrale'' dans cet espace, sous condition de contrôle géométrique, à l'aide d'une stratégie basée sur l'utilisation de mesures de défauts microlocales. Cette stratégie nécessite notamment une reformulation du système pour travailler à des niveaux d'énergie égaux pour chacune des composantes du système. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jingrui Niu.

Dans cette exposé nous nous intéresserons au problème de Calderón qui consiste à détecter la conductivité d'un milieu à partir du flux de courant mesuré sur le bord du milieu provenant de l'application de différents potentiels électriques sur le bord du milieu. Ce problème inverse aux applications multiples (imagerie médicale, géophysique...) se formule comme la détermination d'un paramètre apparaissant dans une équation elliptique. Dans cet exposé nous considérerons ce problème pour des équations elliptiques quasilinéaires où le paramètre à déterminer sera associé à une expression non-linéaire décrivant la conductivité du milieu. Ces travaux proviennent d'une collaboration avec Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi, Katya Krupchyk et Gunther Uhlmann.

Dans cet exposé je présenterai des résultats concernant le comportement en temps long des solutions d'équations cinétiques linéaires dans tout l'espace, où l'opérateur de collision satisfait les lois de conservation physiques (masse, quantité de mouvement et énergie) et les particules sont confinées via un potentiel extérieur. Il s'agit d'un travail en collaboration avec J. Dolbeault, F. Hérau, S. Mischler, C. Mouhot et C. Schmeiser.

We consider a semiclassical linear Boltzmann model with a non local collision operator. We provide sharp spectral asymptotics for the small spectrum in the low temperature regime from which we deduce the rate of return to equilibrium as well as a metastability result. The main ingredients are resolvent estimates obtained via hypocoercive techniques and the construction of sharp Gaussian quasimodes through an adaptation of the WKB method.

Un phénomène surprenant existe autour de l'ensemble de Cantor triadique: la loi de Cantor (la "mesure uniforme sur le Cantor") a pour fonction de répartition le célèbre escalier du diable, qui s'avère être $\frac{\log 2}{\log 3}$-Hölderienne. C'est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor. De plus, la transformée de Fourier de cette mesure s'avère décroitre comme $|\xi|^{-\frac{\log 2}{\log 3}}$ "en moyenne". Ce n'est pas une coïncidence, et est un indice vers un lien plus profond entre la géométrie des fractales et l'analyse de Fourier. Dans cette présentation nous détaillerons une partie de ce lien à travers la notion de dimension de Fourier. Nous discuterons de l'état de l'art et de quelques résultats récents: la dimension de Fourier d'un ensemble de Julia hyperbolique est positive.

Je commencerai par présenter les équations des lacs qui peuvent être considérées comme une généralisation des équations d'Euler axisymétriques 3D sans swirl. Ce modèle 2D diffère des équations d'Euler 2D en raison d'une contrainte anélastique dans le problème div-rot. J'expliquerai comment cette nouvelle contrainte implique un comportement très différent des tourbillons concentrés : le tourbillon ponctuel se déplace sous sa propre influence selon une loi de type courbure binormale. Ce travail est en collaboration avec Lars Eric Hientzsch et Evelyne Miot.