Séminaire d'analyse (archives)

Dans cet exposé, nous considèrerons le Laplacien magnétique, opérateur de Schrödinger en présence d'un champ purement magnétique. Nous verrons comment un champ magnétique qui ne s'annule pas divise le spectre en paquets, dans la limite semi-classique : des niveaux de Landau. La construction d'une forme normale permettra d'expliciter l'apport de chaque niveau de Landau dans l'ensemble du spectre. Nous en déduirons une loi de Weyl et une description des états semi-excités.

The inviscid quasi-geostrophic equations, widely used to study the atmospheric dynamic, have many common points with the surface Euler equation. The main difference concerns the Biot and Savart law that involves a fractional laplace operator instead of a full laplace operator. From this observation, it is possible to extend the classical theory of point-vortices for the Euler equation to the quasi-geostrophic case. The point-vortex system is a system of differential hamiltonian first order equations that give account to the natural case where the vorticity is sharply concentrated around a finite number of points and then can be approximated by Dirac masses.

Nous nous intéresserons à l'équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d'onde, posée à l'extérieur d'un obstacle. La méthode des éléments finis est un outils robuste et efficace pour résoudre une telle équation de manière numérique, cependant, des difficultés apparaissent lorsque l'on souhaite obtenir des estimations de convergence uniformes en la fréquence. Au cours des 10 dernières années, des résultats de Melenk et Sauter, décomposant les solutions de Helmholtz en composantes « hautes » et « basses » fréquences pour obtenir de telles estimations de convergence, ont eu un impact considérable.

We will introduce the multi-parameter flag Leibniz rules. The formulation can be perceived as compositions of differential operators or partial differential operators and the complexity reflects the number of compositions. Nonetheless, the nontrivial range of boundedness exponents cannot be derived by iterative applications of Leibniz rules of lower complexities. We will then focus on a particular example of flag Leibniz rules to illustrate main ideas in the proof. This is joint work with Cristina Benea.

Kinks are topological solitons, which appear in (nonlinear) one-dimensional Klein-Gordon equations, the Phi-4 and Sine-Gordon equations being the best-known examples. I will present new results which give asymptotic stability for kinks, with an optimal decay rate, in some cases. The proof relies on the distorted Fourier transform associated to the linearized equation around the kink; this method should be of interest for more general soliton stability problems. This is joint work with Fabio Pusateri.

Je présenterai quelques résultats sur l'équation de Schrödinger non linéaire 1D avec une non-linéarité de degré p>1. Je définirai des mesures sur l'espace des données initiales pour lesquelles nous pouvons décrire l'évolution non triviale par le flot linéaire de Schrödinger et montrer que leur évolution non linéaire est absolument continue par rapport à cette évolution linéaire. Nous déduisons de cette description précise des estimations de décroissance impliquant le caractère globalement bien-posé de l'équation pour p>1 avec scattering pour p>3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Burq (Université Paris-Saclay).

Un noeud tricot est un certain type de courbe dans l'espace dessinée au voisinage d'une courbe base. Un exemple typique est le noeud de trèfle dessiné sur le bord d'un tore (vu come voisinage tubulaire d'un cercle). On s'intéresse à des champs magnétiques dont l'unique ligne de champ est supportée par de telles courbes et aux opérateurs de Dirac associés. Ces champs s'apparentent à des solénoïdes de Aharonov-Bohm et présentent la même périodicité des flux des lignes de champ. En faisant tendre vers zéro l'épaisseur du voisinage tubulaire, le noeud tricot converge formellement vers la courbe base. On présentera dans cet exposé des résultats de convergence que l'on peut obtenir au niveau des opérateurs de Dirac et de leurs spectres.

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