Séminaire d'analyse (archives)

Je présenterai quelques résultats sur l'équation de Schrödinger non linéaire 1D avec une non-linéarité de degré p>1. Je définirai des mesures sur l'espace des données initiales pour lesquelles nous pouvons décrire l'évolution non triviale par le flot linéaire de Schrödinger et montrer que leur évolution non linéaire est absolument continue par rapport à cette évolution linéaire. Nous déduisons de cette description précise des estimations de décroissance impliquant le caractère globalement bien-posé de l'équation pour p>1 avec scattering pour p>3. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Burq (Université Paris-Saclay).

Un noeud tricot est un certain type de courbe dans l'espace dessinée au voisinage d'une courbe base. Un exemple typique est le noeud de trèfle dessiné sur le bord d'un tore (vu come voisinage tubulaire d'un cercle). On s'intéresse à des champs magnétiques dont l'unique ligne de champ est supportée par de telles courbes et aux opérateurs de Dirac associés. Ces champs s'apparentent à des solénoïdes de Aharonov-Bohm et présentent la même périodicité des flux des lignes de champ. En faisant tendre vers zéro l'épaisseur du voisinage tubulaire, le noeud tricot converge formellement vers la courbe base. On présentera dans cet exposé des résultats de convergence que l'on peut obtenir au niveau des opérateurs de Dirac et de leurs spectres.

(Travail effectué en collaboration avec Jan Philip Solovej)

https://www.lebesgue.fr/fr/content/seminars-jrna2021

On étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans un premier temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans un second temps, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, ces résultats couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.

Je présenterai comment adapter la technique de multiplicateurs, développée par Leray et Garding pour les opérateurs d'évolution strictement hyperboliques, au cadre des schémas aux différences finies pour des équations d'évolution. Le but est d'obtenir des estimations de stabilité en passant le moins possible par l'analyse de Fourier dans les variables spatiales. Je tacherai notamment d'expliquer la méthode sur les schémas à un ou deux pas de temps qui sont les seuls à l'heure actuelle où la technique semble pouvoir s'étendre aux schémas de type volumes finis en espace.

Nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 3, il n'y a pas unicité pour le problème de Calderón local pour des métriques Riemanniennes à coefficients Hölder continus. Nous construisons des contre-exemples à l'unicité dans le cas de variétés toroïdales (M,g). Les coefficients de ces métriques sont lisses à l'intérieur de ces variétés et sont seulement Hölder continus sur le bord où sont effectuées les mesures. Plus précisément, nous montrons qu'il existe dans la classe conforme de g une infinité de métriques (\tilde{g} = c^4 g) telles que les applications Dirichlet-Neumann locales sur un bord coïncident. Les facteurs conformes correspondants sont harmoniques par rapport à la métrique g, mais ne vérifient pas le principe de prolongement unique.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Thierry Daudé (Université de Cergy-Pontoise) et Niky Kamran (McGill University).

We consider a class of quasi-linear, Hamiltonian Schrödinger equations on the d dimensional torus. We discuss the problem of existence and unicity of classical solutions of the Cauchy problem associated to the equation with initial conditions in the Sobolev space H^s, with s large. We also present results about the lifespan and stability of small solutions. The proofs of such results involves techniques of para-differential calculus combined with normal form theory.

Dans ${\mathbb R}^2$, deux espaces BMO peuvent être considérés, l'espace à 1 paramètre (basé sur des cubes ou des boules) et l'espace à 2 paramètres (basé sur des rectangles). Ces espaces jouent un rôle important dans l'étude des opérateurs singuliers et constituent des espaces limite adéquat pour l'échelle des espaces de Lebesgue $L^p$ quand $p\to \infty$. En effet, par rapport à $L^\infty$, ils ont l'avantage de se comprendre via un point de vue fréquentiel et une analyse temps-fréquence.

Si l'espace a 1 paramètre est bien compris et notament peut être conjugué aux rotations et plus généralement à n'importe quelle application bi-Lipschitz, c'est beaucoup moins clair pour l'espace biparamètrique. Nous expliquerons pourquoi la structure des rectangles, de l'espace BMO biparamètrique, n'est pas compatible avec la composition par une rotation et nous décrirons une inégalité qui permet de quantifier cela.

Ceci est un travail en collaboration avec Yujia Zhai.