Séminaire d'analyse (archives)

Depuis des travaux récents, les principes d’incertitude ont gagné en intérêt dans la recherche de conditions géométriques pour le contrôle d’équations d’évolution linéaires. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à l’obtention de principes d’incertitude valables dans des espaces de Gelfand-Shilov généraux. Nous discuterons notamment du cas des espaces de Gelfand-Shilov standards $S\nu^\mu$ où les deux paramètres $\mu,\nu>0$ satisfont $\mu+\nu \geq 1$ et mesurent respectivement la décroissance en espace et en Fourier des fonctions de $S\nu^\mu$. Ces principes d’incertitude nous permettrons d’obtenir des conditions géométriques suffisantes pour la contrôlabilité d’équations d’évolution régularisants dans des espaces de Gelfand-Shilov. Un des objectifs sera de comprendre comment la géométrie de l’ensemble de contrôle est reliée aux deux paramètres $\mu$ et $\nu$. En particulier, ces résultats s’appliqueront aux équations d’évolution associées à des opérateurs de Shubin anisotropes fractionnaires.

We present some results on the spectral analysis of the semiclassical Neumann magnetic Laplacian on a smooth bounded domain in dimension three. When the magnetic field is constant and in the semiclassical limit, we establish a four-term asymptotic expansion of the low-lying eigenvalues, involving a geometric quantity along the apparent contour of the domain in the direction of the field. In particular, we prove that they are simple.

La construction de mesures invariantes pour des EDP Hamiltoniennes sur des domaines bornés permet de fournir une description qualitative du flot en temps long. Après avoir expliqué quelques méthodes classiques pour construire ces mesures et montrer leur invariance par le flot Hamiltonien, on s'intéressera au cas particulier de l'équation de Schrödinger fractionnaire avec non-linéarité exponentielle afin d'illustrer le rôle de la dispersion ainsi que les conditions nécessaires sur la mesure pour implémenter les méthodes précédentes.

On considère une équation de transport par un champ de gradient avec une petite perturbation visqueuse. On étudie des propriétés d’observabilité uniforme dans la limite (singulière) de viscosité évanescente. On montre avec une série d’exemples que le temps minimal pour l’observabilité uniforme peut être bien plus grand que le temps minimal pour l’équation limite. On montre aussi que les deux temps minimaux coïncident pour les solutions positives. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Peut-on déterminer la métrique d'un trou noir en observant des ondes aux infinis de la variété ? Dans cet exposé, je répondrai par la positive à cette question à travers l'exemple de trous noirs de Kerr-Newmann-de-Sitter, une classe de solutions exactes des équations d'Einstein décrivant un trou noir massif, électriquement chargé et en rotation. Dans un premier temps, je décrirai brièvement la géométrie de ces espaces-temps, puis la matrice de diffusion associée à des champs de Dirac sans masse se propageant dans cette variété. Dans une deuxième partie, je montrerai que la matrice de diffusion à une énergie fixée permet de déterminer uniquement un trou noir de Kerr-Newmann-de-Sitter. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec François Nicoleau.

Nous définissons une classe d'opérateurs discrets mimant les propriétés standards des opérateurs pseudo-différentiels. En particulier, nous pouvons définir la notion d'ordre et de régularité, et nous retrouvons la propriété fondamentale selon laquelle le commutateur de deux opérateurs discrets gagne un ordre de régularité. Nous montrons que les opérateurs différentiels standards agissant sur des fonctions périodiques, les opérateurs aux différences finies et les méthodes pseudo-spectrales entièrement discrètes entrent dans cette classe d'opérateurs pseudo-différentiels discrets. A titre d'exemples d'applications pratiques, nous revisitons les estimations d'erreur standard pour la convergence des méthodes de splitting. De plus, nous donnons un exemple de constructions de préconditionneurs inspirées de l'analyse de la forme normale pour traiter la question similaire pour des cas plus généraux. (travail en collaboration avec Erwan Faou)

La méthode des champs de vecteurs est une approche robuste permettant d'obtenir des estimations de décroissance pour les solutions d'équations d'ondes ou de Vlasov. Elle s'appuie sur le caractère géométrique de ces équations et a permis de traiter de nombreux problèmes non-linéaires. Nous verrons ici comment l'adapter à l'équation de Vlasov sans masse linéaire sur un trou noir de type Schwarzschild. En comparaison avec l'espace-temps de Minkowski, qui est une variété plate, les difficultés proviennent du plus petit nombre de symétries, de l'horizon des évènements ainsi que des trajectoires piégées.

Les fermions piégés suscitent encore récemment un vif intérêt en physique théorique. Ce qui amène à s'intéresser en autre à la localisation des fonctions propres des opérateurs de Schrödinger dans un régime semi-classique. Dans cet exposé, je présenterai et commenterai les résultats obtenus dans le cas simple d’une particule confinée toute seule, puis leur généralisation à une famille de particules sans interactions, condamnées à être coincées ensemble

Dans cet exposé je vais considérer le flot binormal, modèle classique pour la dynamique des tourbillons filamentaires dans les équations d'Euler 3D. Il s'agit d'un flot géométrique pour des courbes 3D, explicitement relié à la Schrödinger map à valeurs dans la sphère 2D, ainsi qu'à l'équation de Schrödinger cubique 1D. Bien que ces équations soient complétement intégrables, nous mettons en évidence des solutions avec une croissance explosive de la densité d'énergie. Cette densité d'énergie est donnée par l'amplitude des hautes fréquences de la dérivée du vecteur tangent, traduisant des variations à petites échelles de la courbe. Dans le contexte des tourbillons filamentaires, la variation du vecteur tangent est interprétée comme la variation de la direction de la vorticité, qui est connue selon le critère de Constantin-Fefferman-Majda de jouer un rôle important dans le développement des singularités pour les équations d'Euler. Ceci est un travail en collaboration avec Luis Vega.

Dans cet exposé, nous considèrerons le Laplacien magnétique, opérateur de Schrödinger en présence d'un champ purement magnétique. Nous verrons comment un champ magnétique qui ne s'annule pas divise le spectre en paquets, dans la limite semi-classique : des niveaux de Landau. La construction d'une forme normale permettra d'expliciter l'apport de chaque niveau de Landau dans l'ensemble du spectre. Nous en déduirons une loi de Weyl et une description des états semi-excités.