Séminaire d'analyse (archives)

Certaines équations de Schrödinger non linéaires admettent pour solutions des ondes progressives solitaires. On s’intéressera à l’existence et à la stabilité de telles solutions pour l'analogue discret de ces équations. Je vous présenterai comment la discrétisations de la non linéarité induit une inhomogénéité rendant impossible, a priori, l’existence d’ondes progressives. Enfin, je vous expliquerai comment les instabilités qu’elle engendre peuvent être contrôlées pour permettre le déplacement, sur de longues distances, d’ondes solitaires approchées.

Le système de Serre-Green-Naghdi (SGN) est un modèle fortement non-linéaire et faiblement dispersif pour la propagation des vagues. Il possède une structure Hamiltonienne, et le problème de Cauchy est bien posé dans des espaces de Sobolev d'indice suffisamment élevé. Pour autant, ce système n'est pas exploitable pour une utilisation dans des cas pratiques, parce que sa résolution numérique demande d'inverser un opérateur elliptique à chaque pas de temps. Nicolas Favrie et Sergey Gavrilyuk ont récemment proposé une stratégie pour construire efficacement des solutions approchées, via un système quasilinéaire de lois de bilan utilisant des variables additionnelles et un paramètre libre.

The simplex Hilbert transform is a singular integral form related to the multilinear Hilbert transform and Carleson’s operator. Boundedness of the simplex Hilbert transform is is one of the major open problems in harmonic analysis. In this talk we discuss bounds for a superposition of simplex Hilbert transforms in low dimensions, and related singular integral forms. Joint work with Joris Roos.

Dans cet exposé nous nous proposerons de revisiter la théorie de Harris-Meyn-Tweedie sur les semi-groupes de Markov, et nous nous intéresserons plus particulièrement au cas sous-géométrique, c’est-à-dire, lorsque le retour vers l’équilibre n’est pas à vitesse exponentielle. Nous commencerons par établir l’existence d’un état d’équilibre et un taux de convergence vers celui-ci pour une classe d’opérateurs stochastiques à l’aide d’arguments simples, déterministes et constructifs. Nous montrerons comment en déduire certains résultats de Douc-Fort-Guillin sur les semi-groupe de Markov et comment cela peut être utile pour généraliser un résultat de convergence de Aoki-Golse sur l’équation de transport libre avec condition de diffusion sur le bord.

In this talk, we will first review some classical results on the so-called ’spectral inequalities’, which yield a sharp quantification of the unique continuation of the spectral family associated with the Laplace-Beltrami operator in a compact manifold. In a second part, we will discuss how to obtain the spectral inequalities associated to the Schrodinger operator -\Delta_x + V(x), in \mathbb{R}^d, in any dimension $d\geq 1$, where V=V(x) is a real analytic potential. In particular, we can handle some long-range potentials. This is a joint work with Prof G. Lebeau (Université de Nice-Côte d'Azur, France).