Séminaire d'analyse (archives)

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[Reporté en mars] Initial data for Minkowski stability with arbitrary decay

Arthur Touati
Etablissement de l'orateur
IHES
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Résumé de l'exposé

In this talk, I will present a construction of arbitrarily decaying initial data for the stability of Minkowski spacetime as solutions to the Einstein equations. Initial data on a spacelike hypersurface need to solve the so-called constraint equations, i.e a geometric nonlinear underdetermined elliptic system. I will show how one can parametrize solutions in a neighborhood of Minkowski spacetime and address linear obstructions coming from conservation laws in general relativity. This is a joint work with Allen Juntao Fang and Jérémie Szeftel.

Convexité et comportement en temps long du modèle infinitésimal de Fisher

Vincent Calvez
Etablissement de l'orateur
CNRS, Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique - LMBA
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Résumé de l'exposé
Le modèle infinitésimal de Fisher est un modèle classique d'héritabilité génétique. Il est assimilable à un opérateur de collision homogène de degré un. Nous avons identifié une structure de convexité sous-jacente à cet opérateur, qui est compatible avec une fonction de sélection convexe. Nous en déduisons la relaxation exponentielle asynchrone vers un unique équilibre, mesurée en information de Fisher de type $L^\infty$. Nous utilisons une transformation qui convertit l'opérateur forward, qui n'est ni linéaire, ni conservatif, en un opérateur backward qui est à la fois linéaire et conservatif. Nous utilisons un argument de contraction en distance de Wasserstein $W_\infty$ qui découle lui-même d'un principe du maximum inspiré de Caffarelli sur l'équation de Monge-Ampère.

[en collaboration avec David Poyato et Filippo Santambrogio]

Croisement de trajectoires classiques pour un opérateur de Schrödinger matriciel

Setsuro Fujiié
Etablissement de l'orateur
Ritsumeikan University, Japon
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Résumé de l'exposé
On considère un opératreur semiclassique à valeur 2 × 2 matricel, dont
les éléments diagonaux sont des opérateurs de Schrödinger et les éléments
anti-diagonaux sont de petites interactions d’ordre $h$ (paramètre semiclassique). Dans le cas où les trajectoires classiques associées aux opérateurs de Schrödinger se croisent, on voit des phénomènes variées des valeurs propres
et des résonances en limite semiclassique à cause de l’interaction entre les
deux états. Dans l’exposé, nous considérons 3 modèles avec croisement de:
1. deux trajectoires non-captives, qui engendrent des résonances,
2. une trajectoire non-captive et une trajectoire périodique, où les valeurs propres engendrées par la trajectoire périodique deviennent résonances,
3. deux trajectoires périodiques symétriques, où la séparation des valeurs propres est d’ordre polynômiale en $h$.

Poches périodiques et quasi-périodiques en temps

Emeric Roulley
Etablissement de l'orateur
SISSA
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Résumé de l'exposé

Le but de cet exposé et de contextualiser mes recherches portant sur l'existence de structures de type poche pour différents modèles apparaissant en mécanique des fluides ou en théorie cinétiques. Dans une première partie, nous parlerons du cas périodique. Nous présenterons d'abord la notion de poches de tourbillon planaires et discuterons la littérature associée. Puis nous parlerons du cas des équations d'Euler sur la sphère en rotation et finirons par la notion de poches d'électrons. La dernière partie de l'exposé est consacrée à la présentation rapide des résultats obtenus pour les poches quasi-périodiques.

The global stability of the Kaluza-Klein spacetime

 

Cécile Huneau
Etablissement de l'orateur
Ecole Polytechnique
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Résumé de l'exposé
In this talk, I will present a recent work in collaboration with Annalaura Stingo and Zoe Wyatt, where we show the classical global stability, for Einstein equations, of the flat Kaluza–Klein spacetime, which corresponds to Minkowski spacetime in $R^{1+4}$ with one direction compactified on a circle. We consider small perturbations which are allowed to vary in all directions including the compact direction. These perturbations lead to the creation of massless modes and Klein–Gordon modes. On the analytic side, this leads to a PDE system coupling wave equations to an infinite sequence of Klein–Gordon equations with different masses. The techniques we use are based purely in physical space, using the vectorfield method.

Lemme d’Égorov, 21 ans plus tard

Yannick Guedes Bonthonneau
Etablissement de l'orateur
LAGA
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Résumé de l'exposé
Je parlerais du lemme d’Egorov en temps long, de variétés et de $h^{2/3}$.

Espaces des fonctions homogènes sur des demi-espaces et régularité maximale $\mathrm{L}^q$ globale en temps

Anatole GAUDIN
Etablissement de l'orateur
Institut de Mathématiques de Marseille
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Résumé de l'exposé
Cette présentation se focalisera principalement sur la réalisation d'espaces de fonctions homogènes sur des demi-espaces qui étend certaines approches établies sur l'espace entier et le demi-espace plat. La construction sur laquelle nous nous concentrons est particulièrement bien adaptée pour traiter les problèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires et/ou avec conditions au bord. Nous discuterons spécifiquement de l'interpolation de ces espaces, des résultats de trace et de la théorie des opérateurs adaptée pour atteindre des résultats de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ tous globaux en temps, ainsi que de nombreuses autres variantes dans ce cadre, offrant une extension naturelle de certains résultats obtenus récemment par Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf. Lorsque l'on considère le demi-espace plat, il est possible d'obtenir une décomposition de Hodge/Helmholtz pour les espaces de Besov homogènes avec des indices de régularité "suffisamment élevés", ce qui nous permet également de retrouver divers résultat de régularité maximale $\mathrm{L}^q$ global en temps, tel que, par exemple, un résultat $\mathrm{L}^1_t(\dot{\mathrm{B}}^{s}_{p,1})$, dont l'intérêt peut être central en mécanique des fluides visqueux.

Cette présentation contiendra une rapide introduction sur les principaux sujets à partir de leurs exemples fondamentaux : Espaces de Sobolev et Besov homogènes, Régularité Maximale $\mathrm{L}^q$ en temps, et la Décomposition de Hodge/Helmholtz par le Projecteur de Hodge-Leray (ou de Leray).

A kinetic perspective on Fourier extension operators

ITAMAR OLIVEIRA
Etablissement de l'orateur
University of Birmingham
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Résumé de l'exposé

The goal of the talk is to present a set of open problems about Fourier extension operators from a perspective motivated by features of the classical kinetic transport equation. This perspective naturally brings into play the Wigner transform, an ubiquitous operator in quantum mechanics which is closely connected to the classical Fourier transform. We will show how estimates for the Wigner transform can be converted into certain tomographic bounds for Fourier extension operators, and this naturally leads to the classical Mizohata-Takeuchi conjecture. We will also discuss recent progress in that direction, which is joint work with Bennett, Gutierrez and Nakamura.

On the spectral invariants for the Dirichlet to Neumann map in the unit ball.

Carlos Villegas Blas
Etablissement de l'orateur
Universidad Nacional Autónoma de México
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Résumé de l'exposé
In this talk we consider the Dirichlet to Neumann map (D-N) for the unit sphere in $R^3$. When we are sufficiently far from the origin, the spectrum of such an operator consists of eigenvalue clusters around the natural numbers. The distribution of the corresponding scaled eigenvalue shifts has an asymptotic expansion when the label of the cluster goes to infinity. The asymptotic expansion consists of distributions called spectral invariants. By using the averaging method, asymptotics of the Berezin symbol of the D-N map and a suitable symbol calculus, we compute the first terms of such an expansion in terms of the Radon transform (averages along geodesis of the unit sphere) of derivatives of the function that encodes the conductivity properties of the media in the unit ball.


Limite continue pour l'équation de Schrödinger non-linéaire discrète

Quentin Chauleur
Etablissement de l'orateur
INRIA Lille
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Résumé de l'exposé

Dans cet exposé j'aborderai un de mes résultats récents sur la limite de l’équation de Schrödinger discrète sur le réseau $h\mathbb{Z}^d$ pour d = 1, 2 quand la taille de la grille h tend vers 0. En particulier, j'esquisserai comment obtenir des taux de convergence explicites dans des espaces de Sobolev arbitraires de la solution discrète vers celle de l’équation continue pour tout temps. La démonstration repose sur deux ingrédients principaux : le contrôle de l’évolution des normes de Sobolev discrètes de la solution, ainsi que des estimations bilinéaires vérifiées par l’interpolation de Shannon. L’estimation obtenue est dite compatible, au sens où plus de régularité sur la condition initiale permet d’obtenir une meilleure convergence en h. Une large portion de l'exposé sera dédiée à des rappels sur le cas continu, notamment sur l'intérêt des estimations de dispersion pour NLS.