Séminaire d'analyse (archives)

The goal of the talk is to motivate and introduce the main questions regarding the Fourier restriction operator for the paraboloid, as well as to present some recent developments that we obtained in joint work with Camil Muscalu. We will describe some connections between the study of this operator and questions in dispersive PDEs and geometric measure theory. Once we set up the background and comment on the current tools employed to treat the main conjectures in this area, we will change our focus to a different framework that unifies the treatment of the linear and multilinear theory previously presented.

On considère une équation de transport par un champ de gradient avec une petite perturbation visqueuse. On étudie des propriétés d’observabilité uniforme dans la limite (singulière) de viscosité évanescente. On montre avec une série d’exemples que le temps minimal pour l’observabilité uniforme peut être bien plus grand que le temps minimal pour l’équation limite. On montre aussi que les deux temps minimaux coïncident pour les solutions positives. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Peut-on déterminer la métrique d'un trou noir en observant des ondes aux infinis de la variété ? Dans cet exposé, je répondrai par la positive à cette question à travers l'exemple de trous noirs de Kerr-Newmann-de-Sitter, une classe de solutions exactes des équations d'Einstein décrivant un trou noir massif, électriquement chargé et en rotation. Dans un premier temps, je décrirai brièvement la géométrie de ces espaces-temps, puis la matrice de diffusion associée à des champs de Dirac sans masse se propageant dans cette variété. Dans une deuxième partie, je montrerai que la matrice de diffusion à une énergie fixée permet de déterminer uniquement un trou noir de Kerr-Newmann-de-Sitter. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec François Nicoleau.

Nous définissons une classe d'opérateurs discrets mimant les propriétés standards des opérateurs pseudo-différentiels. En particulier, nous pouvons définir la notion d'ordre et de régularité, et nous retrouvons la propriété fondamentale selon laquelle le commutateur de deux opérateurs discrets gagne un ordre de régularité. Nous montrons que les opérateurs différentiels standards agissant sur des fonctions périodiques, les opérateurs aux différences finies et les méthodes pseudo-spectrales entièrement discrètes entrent dans cette classe d'opérateurs pseudo-différentiels discrets. A titre d'exemples d'applications pratiques, nous revisitons les estimations d'erreur standard pour la convergence des méthodes de splitting.

La méthode des champs de vecteurs est une approche robuste permettant d'obtenir des estimations de décroissance pour les solutions d'équations d'ondes ou de Vlasov. Elle s'appuie sur le caractère géométrique de ces équations et a permis de traiter de nombreux problèmes non-linéaires. Nous verrons ici comment l'adapter à l'équation de Vlasov sans masse linéaire sur un trou noir de type Schwarzschild. En comparaison avec l'espace-temps de Minkowski, qui est une variété plate, les difficultés proviennent du plus petit nombre de symétries, de l'horizon des évènements ainsi que des trajectoires piégées.

In this talk, we discuss the stability issue for the inverse problem of determining the electric potential appearing in a Schrödinger equation defined on an infinite cylindrical waveguide. We consider both results of stability from full and partial boundary measurements associated with the so-called Dirichlet-to-Neumann map. In the presence of the magnetic potential, a second problem is considered for which we prove that the electric potential and the magnetic field depend stably on the global and partial Dirichlet-to-Neumann maps. Our approach combines construction of complex geometric optics solutions and Carleman estimates suitably designed for our stability results stated in an unbounded domain.

Les fermions piégés suscitent encore récemment un vif intérêt en physique théorique. Ce qui amène à s'intéresser en autre à la localisation des fonctions propres des opérateurs de Schrödinger dans un régime semi-classique. Dans cet exposé, je présenterai et commenterai les résultats obtenus dans le cas simple d’une particule confinée toute seule, puis leur généralisation à une famille de particules sans interactions, condamnées à être coincées ensemble

Dans cet exposé je vais considérer le flot binormal, modèle classique pour la dynamique des tourbillons filamentaires dans les équations d'Euler 3D. Il s'agit d'un flot géométrique pour des courbes 3D, explicitement relié à la Schrödinger map à valeurs dans la sphère 2D, ainsi qu'à l'équation de Schrödinger cubique 1D. Bien que ces équations soient complétement intégrables, nous mettons en évidence des solutions avec une croissance explosive de la densité d'énergie. Cette densité d'énergie est donnée par l'amplitude des hautes fréquences de la dérivée du vecteur tangent, traduisant des variations à petites échelles de la courbe.