Séminaire d'analyse (archives)

Considérons l'équation de Schrödinger avec potentiel confinant V dans l'espace Euclidien. La question de l'observabilité dans un ouvert U en temps T s'exprime ainsi : pour une donnée initiale v(0) de carré intégrable, est-il vrai que la masse laissée par la solution v(t) dans U sur l'intervalle de temps [0, T] est minorée par une fraction fixée (disons 1/10) de la masse de la donnée initiale ? Nous verrons que l'on peut caractériser les ouverts U et les temps T pour lesquels un tel énoncé est vrai (sous réserve d'épaissir un peu l'ensemble d'observation U). La condition d'observabilité que l'on trouve résulte d'une certaine forme de correspondance classique-quantique, que l'on étudie grâce à l'analyse semi-classique. En guise d'exemple, nous nous intéresserons, en dimension 2, au cas des oscillateurs harmoniques, où le potentiel V est quadratique. Pour des ensembles d'observation U invariants par rotation, nous verrons que le temps d'observation optimal dépend non seulement de la géométrie de U, mais aussi des propriétés Diophantiennes des fréquences propres de l'oscillateur.

On présente un nombre de résultats concernant le comportement des spectres des opérateurs pseudodifférentiels associés à des symboles de Hoermander d'ordre strictement positifs elliptiques perturbés par des champs magnétiques réguliers qui ne sont pas supposés nuls a l'infini. Le résultat principal affirme la 'quasi'-Lipschitzianité des bords des lacunes spectrales en rapport avec l'intensité du champ magnétique. Les résultats ont été obtenus en collaboration avec Horia Cornean et Bernard Helffer en utilisant aussi des méthodes développées en collaboration avec Viorel Iftimie et Marius Mantoiu.

This talk explores the quantum-classical transition in particle-field dynamics where a finite and fixed number of non-relativistic or semi-relativistic quantum particles interact with a quantized scalar field in the scaling limit of small value of Planck constant $\hbar\to 0$. Such topic aims to rigorously derive effective equations from fundamental first principles of quantum mechanics. In our case, the interaction between the wave and the particles are sufficiently singular to prevent us from using a standard fixed point argument. So that, when analyzing the quantum-classical transition, we crucially use the transferring of some a priori quantum regularizing effects to the classical equation in such a way that we are able to establish the global well-posedness for the particle-field equation while studying the transition by means of Wigner measures. And at the same time, we establish the Bohr’s correspondence principle.

We discuss the zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus given a bell-shaped initial data. We prove that the solutions admit a weak limit as the dispersion parameter tends to zero, which is explicit and constructed from the Burgers' equation. The approach relies on the complete integrability for the Benjamin-Ono equation from Gérard, Kappeler and Topalov, and also on the spectral study of the Lax operator associated to the initial data in the zero-dispersion limit.

In this talk I shall present constructions of Schrödinger operators with complex-valued potentials whose spectra exhibit interesting properties. One example shows that for sufficiently large $p$, the discrete eigenvalues need not be bounded in modulus by the $L^p$ norm of the potential. This is a counterexample to the Laptev-Safronov conjecture (Comm. Math. Phys. 2009). Another construction proves optimality (in some sense) of generalisations of Lieb-Thirring inequalities to the non-selfadjoint case - thus giving us information about the accumulation rate of the discrete eigenvalues to the essential spectrum. This talk is based on joint works with Jean-Claude Cuenin (Loughborough) and Frantisek Stampach (Prague).

In this talk we discuss dispersive estimates for wave equations with low regularity coefficients. It was shown by Smith and Tataru that wave equations with $C^{1,1}$ coefficients satisfy the same Strichartz estimates as the unperturbed wave equation on $\mathbb{R}^n$, and that for less regular coefficients a loss of derivatives in the data occurs. We improve these results for Lipschitz coefficients with additional structural assumptions. We also discuss perturbation results through paradifferential arguments, and a recently introduced class of function spaces adapted to Fourier integral operators.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique de Langevin sur-amortie $d Xt = -U(Xt) dt + \sqrt{2h} d B_t $ dans la limite $ h \to 0 $ lorsque $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d $ est un champ vectoriel régulier tel que, pour une certaine fonction régulière $V : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$, la dynamique soit invariante par rapport à $e^{-\frac Vh} $. Nous nous intéresserons plus précisément aux propriétés du bas spectre du générateur de la dynamique, c-à-d $L = -h \Delta + U \cdot \nabla $, et à leurs liens avec le comportement en temps long de la dynamique dans le régime $h \to 0$. Si le temps le permet, nous regarderons aussi l’extension de ces résultats à certaines dynamiques non elliptiques. (D’après des travaux en collaboration avec Laurent Michel et Jean-François Bony)

Le but de cet exposé est de présenter un résultat de contrôlabilité interne pour des systèmes d'équations d'ondes couplées, posées sur un domaine borné régulier de R^d, avec un contrôle interne agissant sur un sous-ouvert. Plus précisément, on couple un système d'équation d'ondes se propageant à une certaine vitesse avec un autre système d'équations d'ondes, se propageant à une autre vitesse. Le couplage est interne et constant, sous forme cascade, et le contrôle n'intervient que sur certaines des équations.

Dans un premier temps, je donnerai quelques notions de contrôlabilité et des reformulations duales, puis je présenterai le résultat de Bardos, Lebeau et Rauch dans le cas d'une équation d'onde scalaire.

Dans un second temps, je présenterai le résultat que nous avons obtenu dans le cas système. La principale difficulté est d'identifier un espace d'état raisonnable pour le système. Cet espace d'état fait intervenir différents niveaux d'énergie, mais fait aussi des conditions de compatibilité plus surprenantes. La deuxième étape est de démontrer une CNS de contrôlabilité de type ​condition de Kalman spectrale'' dans cet espace, sous condition de contrôle géométrique, à l'aide d'une stratégie basée sur l'utilisation de mesures de défauts microlocales. Cette stratégie nécessite notamment une reformulation du système pour travailler à des niveaux d'énergie égaux pour chacune des composantes du système. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jingrui Niu.

Dans cette exposé nous nous intéresserons au problème de Calderón qui consiste à détecter la conductivité d'un milieu à partir du flux de courant mesuré sur le bord du milieu provenant de l'application de différents potentiels électriques sur le bord du milieu. Ce problème inverse aux applications multiples (imagerie médicale, géophysique...) se formule comme la détermination d'un paramètre apparaissant dans une équation elliptique. Dans cet exposé nous considérerons ce problème pour des équations elliptiques quasilinéaires où le paramètre à déterminer sera associé à une expression non-linéaire décrivant la conductivité du milieu. Ces travaux proviennent d'une collaboration avec Cătălin I. Cârstea, Ali Feizmohammadi, Katya Krupchyk et Gunther Uhlmann.