Séminaire d'analyse (archives)

In this talk, we are interested in a transmission problem between a dielectric and a metamaterial. The question we consider is the following: does the limiting amplitude principle hold in such a medium? This principle defines the stationary regime as the large time asymptotic behavior of a system subject to a periodic excitation.

An answer is proposed here in the case of a plane interface between a metamaterial represented by the Drude model and the vacuum, which fill respectively complementary half-spaces. In this context, we reformulate the time-dependent Maxwell’s equations as a conservative Schrödinger equation and perform its complete spectral analysis. This permits a quasi-explicit representation of the solution via the ”generalized diagonalization” of the associated unbounded self-adjoint operator. As an application of this study, we show finally that the limiting amplitude principle holds except for a particular fequency characterized by a ratio of permittivities and permeabilities equal to −1 across the interface. This frequency is a resonance of the system and the response to this excitation blows up linearly in time.

Joint work with Christophe Hazard (CNRS, Poems team) and Patrick Joly (INRIA, Poems team)

In this presentation, we will construct regular solutions to linear and nonlinear elliptic-parabolic equations in which the natural direction of parabolicity reverses along a critical line. To prevent the emergence of singularities, we will impose orthogonality conditions on the source terms, and follow them during the execution of the nonlinear schemes.

This is a joint work with Anne-Laure Dalibard and Jean Rax, motivated by recirculation problems in boundary layer theory for fluid mechanics, and based on the preprint https://arxiv.org/abs/2203.11067

Splitting schemes are a natural and easy to implement approach to integrate numerically in time differential equations. However, high order splitting methods suffer in general from an order reduction phenomena when applied to the integration of partial differential equations with non-periodic boundary conditions. In this talk, inspired by recent corrector techniques for the second order Strang splitting method, we present a new splitting method of order three for a class of semilinear parabolic problems that avoids order reduction. We prove the third order convergence of the method in a simplified linear setting and confirm the result by numerical experiments. Moreover, we observe numerically that the high order convergence persists for an order four variant of a splitting method, and also for a nonlinear source term.

Je vous présenterai un résultat récent, en collaboration avec Benoît Grébert et Tristan Robert, concernant l'existence de tores invariants de dimension infinie pour les équations de Schrödinger non-linéaires sur le cercle (sans paramètres externes). En particulier, nous montrons l'existence de solutions presque-périodiques qui ne sont pas quasi-périodiques. Notre preuve repose notamment sur la théorie KAM et des effets régularisants dispersifs que je décrirai.

Je présenterai quelques résultats récents obtenus pour le processus d'exclusion facilitée, en une dimension. Ce modèle appartient à la famille des "stochastic lattice gases", et il est soumis à de fortes contraintes cinétiques qui créent une transition de phase continue vers un état absorbant à une valeur critique de la densité de particules. Si la dynamique microscopique est symétrique, son comportement macroscopique, sous des conditions aux limites périodiques et une échelle de temps diffusive, est régi par une EDP non linéaire appartenant aux problèmes à frontières libres (ou problèmes de Stefan). L'un des ingrédients est de montrer que le système atteint typiquement une composante ergodique en temps sous-diffusif. Lorsque le système de particules est mis en contact avec des réservoirs de particules (qui peuvent soit détruire, soit injecter des particules aux deux extrémités), nous observons un impact habituel sur les valeurs limites de la densité empirique. Basé sur des travaux communs avec O. Blondel, H. Da Cunha, C. Erignoux, M. Sasada et L. Zhao.

L'étude de la distribution des zéros de polynômes aléatoires, et plus généralement de sections holomorphes aléatoires de fibrés, est un sujet classique. Je discuterai d'un travail en commun avec Michele Ancona (Université Côte d'Azur), dans lequel nous avons obtenu des résultats sur le lieu des zéros de l'image par un opérateur de Berezin-Toeplitz d'une section holomorphe aléatoire d'une grande puissance d'un fibré en droites complexes au-dessus d'une variété kählérienne. Mon but sera d'introduire gentiment toutes ces notions et d'expliquer nos motivations et nos résultats, ainsi qu'une suite naturelle qui constitue un travail en cours.

We report on on-going work in collaboration with P. Hislop on the eigenvalue statistics of the fractional Anderson model, part of a research program on long range Hamiltonians with diagonal disorder. We review some recent results on the spectral properties on long range random models and the conjectures involving the spectral and dynamical transition expected for these models.