Séminaire d'analyse (archives)

Je présenterai un travail en cours avec Laurent Stolovitch, portant sur les champs de vecteurs quasi-périodiques dont le vecteur des fréquences comporte une résonance, c'est-à-dire que les fréquences sont rationnellement liées. Nous verrons un théorème de presque réductibilité à une forme normale dite "résonante" pour les champs de vecteurs proches d'une constante.

Some twenty years ago Berenger introduced the remarkable method of perfectly matched layers for truncating to a rectangle, the computation of solutions of Maxwell's equations in 1+2 and 1+3 dimensional space time. Only recently have some of the fundamental questions concerning this method been resolved. For example the stability of the original method and its perfection. We discuss the analysis of this and related methods that are constructed to perform better in variable coefficient settings where the perfection of Berenger no longer holds. Research done with Laurence Haplern, Sabrina Petit, and Ludovic Métivier.

On étudie l'équation de Schrödinger avec une non linéarité quintique posée sur une variété M. Si M est la droite réelle, la théorie de l'explosion près de l'état fondamental est bien connue : elle met en avant un régime d'explosion générique, stable par perturbation de la donnée initiale et caractérisé par une vitesse d'explosion presque auto-similaire. Dans cet exposé, on montre une propriété de stabilité géométrique au sens où on prouve que ce régime persiste dans certaines géométries non euclidiennes.

Informations sur http://anum-maths.univ-rennes1.fr/JourneesNantesRennes/2013/

On étudie la dissipation locale de l'énergie pour des EDP de type gradient sur des domaines non bornés. On part de l'hypothèse (vérifiée dans de nombreux exemples classiques) que le carré du flux d'énergie est majoré par une quantité linéaire en la dissipation d'énergie. On établit alors des bornes simples et universelles sur le flux d'énergie intégré en temps qui impliquent que, si la dimension de l'espace n'est pas trop grande, notre "système dynamique étendu" se comporte la plupart du temps comme un système gradient. En particulier, on peut estimer le temps passé par toute trajectoire en dehors d'un voisinage donné de l'ensemble des points d'équilibre. A titre d'application, on étudie le comportement asymptotique en temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes à deux dimensions dans un cylindre infini. Cet exposé est basé sur une collaboration en cours avec Sinisa Slijepcevic (Zagreb).