L'approximation de toit rigide est couramment utilisée en Océanographie, afin de simplifier l'étude d'un système stratifié (typiquement une couche d'eau salée sur une couche d'eau pure). Elle consiste à négliger les déformations de la surface du fluide devant les déformations se produisant à l'interface entre deux couches, et est motivée par la faible différence de densité entre les deux couches de fluide. On testera la validité de cette approximation pour un système de deux fluides non-miscibles, en comparant les prédictions du modèle simplifié de Saint Venant (ou shallow water), dans les deux configurations : toit rigide ou surface libre. Mathématiquement parlant, les mots clé sont : système hyperbolique quasi-linéaire.
Durant ce séminaire, nous commencerons par rappeler les objets principaux
de la théorie de la diffusion. Nous montrerons ensuite comment obtenir de
nouvelles formules pour les opérateurs d’onde dans le cadre de la
diffusion par un potentiel dans R^3. Suite à cela, nous illustrerons notre
propos à travers d’autres exemples et mettrons en évidence l’utilité de
ces formules pour obtenir des théorèmes d’indice. Ce travail s’inscrit
dans un programme de recherche d’invariants topologiques en théorie
de la diffusion.
On s'intéresse à l'équation de Schrödinger posée sur un domaine satisfaisant certaines
hypothèses géométriques (typiquement, complèmentaire d'un convexe borné) avec
données au bord Dirichlet non nulles. On décrira en particulier la régularité "naturelle"
des données au bord, une propriété d'effet régularisant local, et les conditions de
compatibilité entre données initiales et au bord.
Burago et Ivanov on démontré il a a une quinzaine d'année la
conjecture de Hopf suivante: une métrique du tore sans point conjugués est
plate. Se pose alors la question pour les hamiltoniens de Tonelli, qui
sont des généralisations des métriques riemanniennes. On verra qu'alors
l'espace des phases est feuilleté en tores Lipschitz lagrangiens
invariants par le flot hamiltonien, et que la dynamique est d'entropie
topologique nulle.
Les propriétés diophantiennes d'un vecteur interviennent classiquement dans l'étude des perturbations
de systèmes quasi-périodiques sous la forme de "petits diviseurs". Dans la première partie de cet
exposé, nous expliquerons un résultat de dualité en approximation diophantienne qui permet de
quantifier ces propriétés à l'aide de "grandes périodes" d'approximations périodiques. Dans une
seconde partie, nous utiliserons cette dualité pour développer une méthode d'approximations périodiques
et prouver des résultats de type KAM et Nekhoroshev dans le cadre des perturbations des champs de
vecteurs constants sur le tore. Il s'agit d'un travail avec Stéphane Fischler (Université Paris Sud).
