Séminaire des doctorants

L’optimisation globale de fonctions polynomiales sous contraintes algébriques est un défi majeur, classé comme NP-difficile en raison de la difficulté à certifier la non négativité d’un polynôme. Cet exposé présentera comment la programmation semidéfinie (SDP) et la méthode des sommes de carré (SOS) permettent de contourner ce verrou en transformant des problèmes non-convexe en une suite de relaxations convexes traitables. Nous explorerons également la hiérarchie des moments-SOS, qui établit un pont entre l’algèbre et la théorie des mesures pour garantir la convergence vers l’optimum globale.

Cette présentation est une introduction à la méthode de Stein, un moyen de caractériser une mesure de probabilité par un opérateur et une classe de fonctions. Son application principale est d’obtenir des bornes sur la distance entre deux mesures de probabilités. En particulier, cela permet d’obtenir des vitesses de convergence pour la convergence d’une suite de variables aléatoires vers une loi cible.

Le 21ème problem de Hilbert (1900) a amené beaucoup de matematicien.nes à étudier des ODE sur la droite complexe. Ici tout est plus bizarre: il suffit de penser que le logarithme complexe n'est pas bien défini (ce qui, vous pouvez imaginer, pose pas mal des soucis pour l’intégration). Le problème de Hilbert a ensuite évolué avec le temps. On s'est rendu compte que la droite complexe était "trop petite" pour répondre à la question, et qu'il fallait plutôt travailler sur la sphère de Riemann, qui est la compactification naturelle de $\mathbb{C}$ en rajoutant un point que l'on appelle "l'infini". En partant d'un petit théorème topologique et d'un exemple simple et classique on présentera les systèmes de ODE de rang deux sur la sphère de Riemann et leur monodromie.