Séminaire des doctorants

Dans cet exposé, je proposerai une introduction à l’ergodicité quantique. On considère une variété riemannienne compacte lisse, ainsi que l’opérateur de Laplace–Beltrami associé, qui possède un spectre discret et une base hilbertienne de fonctions propres. Du point de vue de la mécanique quantique, les densités de probabilité associées à ces fonctions propres décrivent la probabilité de présence d’une particule en un point de la variété. Une question centrale est de comprendre comment ces mesures se répartissent lorsque l’énergie tend vers l’infini, et en quoi ce comportement reflète la dynamique du flot géodésique. Afin d’illustrer ces notions, je présenterai un exemple dans un cadre euclidien muni d’un champ magnétique, où apparaissent concrètement les différentes notions évoquées.

Que devient un système dynamique avec le temps ? Où se dirigent ses points, où retournent-ils, et quelle est la complexité de leurs trajectoires ? À travers des exemples, nous explorerons des notions fondamentales comme la périodicité, l’intégrabilité et l’entropie. Nous verrons comment la géométrie du système peut contraindre le mouvement. Si le temps le permet, nous ferons un petit tour dans le monde de la dynamique symplectique. Aucun prérequis n’est nécessaire, si ce n’est une licence en math. Des notions en géométrie différentielle peuvent être utiles, mais pas indispensables.