Séminaire des doctorants (archives)

Des réseaux de neurones résiduels aux modèles génératifs basés sur les flots, les champs vectoriels et leur flot jouent un rôle central dans les méthodes modernes de Machine Learning. Bien que plusieurs extensions de ces méthodes aux variétés riemanniennes aient été proposées à ce jour, la question de la définition de ces champs de vecteurs sur de tels espaces a été en grande partie négligée, les approches existantes s'appuyant en général sur des solutions alternatives dont l'interprétation géométrique est limitée. Inspirés par la formulation hyperbolique des réseaux résiduels riemanniens, nous proposons une construction intrinsèque de champs de vecteurs paramétrisables applicable à un large éventail d'espaces, comprenant notamment les variétés de Cartan-Hadamard. Notre approche repose sur la fonction de Busemann et tire parti de ses propriétés géométriques favorables. Nous démontrons la pertinence et la flexibilité du cadre proposé à travers des expériences numériques sur différentes tâches dans l'espace hyperbolique et les variétés de matrices symétriques définies positives.

L’apprentissage profond est aujourd’hui devenu un outil central en observation de la Terre, permettant d’exploiter la quantité massive d’images satellites disponibles pour résoudre des tâches complexes comme la classification des cultures agricoles, la prédiction de feux de forêts ou la détection de glissements de terrain. Cependant, ces données sont aussi très hétérogènes: diversité des capteurs satellites, différences géographiques, variations saisonnières et conditions d’acquisition hétérogènes rendent les modèles difficiles à généraliser et à rendre robustes dans des conditions réelles. Dans ce contexte, les modèles génératifs ouvrent de nouvelles perspectives en observation de la Terre, notamment pour l’adaptation de domaine et la traduction entre modalités, afin de mieux gérer l’hétérogénéité des données satellitaires et d’améliorer la robustesse des modèles. Dans cette présentation, nous aborderons ces enjeux, et le Flow Matching, une formulation des modèles génératifs très établie dans la littérature, avant de présenter A²BM, une méthode de traduction d’images exploitant l’alignement entre observations afin d’améliorer la qualité des traductions.

In this talk, we survey several kinetic models for plasma dynamics, ultimately focusing on the Vlasov-HMF (Hamiltonian Mean-Field) model. After a brief historical context, we move from the Hamiltonian dynamics of finite N-particle systems to the infinite particle system via the mean field lim. We introduce mathematical tools: Fourier series, linearization, action-angle variables, and the phase-mixing mechanism. These tools reveal how Landau damping, a return to equilibrium in plasma dynamics, emerges at the linear level. Time permitting, I will explain how this linear picture can be extended to a nonlinear stability result (decay for small perturbations) through a bootstrap argument. The emphasis is on building intuition rather than on technical detail, and the talk is designed to be accessible to all PhD students.

Les mouvements collectifs auto-organisés émergent dans la nature sous forme de nuées d'oiseaux ou de bancs de poissons par exemple. Pour les modéliser, on peut utiliser une approche microscopique, comme le modèle de Vicsek. Or, pour de larges populations, cette approche est très coûteuse à simuler. Pour palier à cela, nous étudierons ici la limite macroscopique du modèle de Vicsek, nommé modèle SOH. Ce modèle est hyperbolique et non-conservatif, ce qui pose problème pour la résolution du problème de Riemann, analytiquement et numériquement. Dans cet exposé, nous commencerons par étudier la structure hyperbolique du système SOH et sur les ondes de détente. Nous définirons ensuite les ondes de chocs grâce au modèle visqueux associé au modèle SOH. De plus, nous dériverons un schéma type Godunov pour le modèle SOH. Comme ce schéma ne converge pas vers la bonne solution, une correction visqueuse est ajoutée afin de récupérer numériquement les solutions ondes de chocs. Enfin, le schéma est testé sur des cas tests afin d'en confirmer la pertinence.

Les coefficients dans le développement en série entière de 1/(1-t)^n correspondent aux dimensions des espaces de polynômes homogènes en n variables. Ce phénomène combinatoire reflète la dualité de Koszul entre l'algèbre symétrique S(V) et l'algèbre extérieure Λ(V) engendrées par un espace vectoriel V de dimension n.

Cette dualité, est à la base d'un complexe appelé résolution de Koszul par Priddy à la fin des années 60'. Le cas de l'algèbre symétrique permet de calculer la résolution de Koszul de l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie, correspondant alors au complexe de Chevalley-Eilenberg.

Lorsque l'on est face à une équation sur les entiers, une stratégie élémentaire est de la considérer modulo des nombres premiers bien choisis. Par exemple, l'équation $x^2 + 5y = 2$ n'admet pas de solutions entières, puisque 2 n'est pas un carré modulo 5. Plus généralement, on peut espérer qu'étant donné un objet "arithmétique" X, on puisse lire un certains nombre de ses propriétés sur ses incarnations modulo chaque nombre premier. Une manière de regrouper ces informations "locales" est de considérer la "fonction L" de X. Un des premiers exemples de telles fonctions est la fonction zêta de Riemann, et nous nous attarderons en profondeur sur ses propriétés. Nous verrons ensuite que la fonction zêta de Riemann est un exemple de fonction zêta de Dedekind, qui sont des fonctions L dont les objets "arithmétiques" associés sont les corps de nombres (les extensions finies de $\mathbb Q$). Nous verrons comment ces fonctions zêta permettent de retrouver des invariants importants des corps de nombres, notamment à travers la formule du nombre de classes. Si le temps le permet, nous verrons comment, par analogie avec la formule du nombre de classes, on peut appréhender la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer sur les fonctions L des courbes elliptiques (une des conjecture du millénaire).

La réduction d'ordre des modèles (ROM) est une méthode avec pour objectif d'approcher la solution d'un problème d'évolution en haute dimension. En effet, la résolution numérique de tels problèmes peut être extrêmement coûteuse et construire un modèle de substitution en (bien) plus faible dimension aide à raisonnablement approcher la solution.

Pour des problèmes d'évolution, des techniques reposent sur la construction d'un espace réduit unique sur l'intervalle de temps. La Proper Orthogonal Decomposition (POD) propose de composer l'espace réduit de solutions du problème haute-dimension sur les premiers instants de l'intervalle. Cela dit, cette méthode occulte les instants non choisis et cela peut entraîner des défauts de performance si des informations clés ne sont pas prises en compte.

Je vais présenter la méthode proposée par une de mes encadrantes, Kathrin Smetana, et ses co-auteurs, afin de répondre à cette limite. Elle suggère de reprendre le principe fondamental de la POD mais de plutôt considérer plusieurs sous-intervalles indépendants, sélectionnés avec une densité de probabilité qui privilégie les instants portant le plus d'informations. En considérant un opérateur de transfert construit comme étant linéaire, nous pouvons ainsi utiliser des résultats de l'algèbre linéaire aléatoire dans la construction de l'espace réduit.

La décomposition en paquets d’ondes d’un opérateur est une méthode introduite dans les travaux de Carleson et Fefferman autour de la convergence ponctuelle des séries de Fourier, puis reprise plus tard par Lacey et Thiele dans le cadre de la transformée bilinéaire de Hilbert. Une particularité de ces opérateurs est leur invariance par modulation qui nous pousse à les étudier simultanément en espace et en fréquence, c’est donc là qu’intervient la décomposition en paquets d’ondes. A travers l’exemple de la transformée bilinéaire de Hilbert nous verrons les idées principales de cette méthode. Pour ce faire, nous aborderons les notions d’intervalles dyadiques, recouvrements dyadiques, et plus précisément recouvrement de Whitney et finalement de paquets d’ondes. Enfin nous verrons comment les spécificités de la transformée bilinéaire de Hilbert influent sur cette décomposition.

The hairy ball theorem states that on a 2-dimensional sphere, any continuous tangent vector field must vanish at least once. In dimension one, it is easy to create a tangent vector field on the circle that does not vanish. It is less easy, however, to find, on a three-dimensional sphere, not one but three continuous tangent vector fields that do not vanish and are even linearly independent. I propose to explore these results and their generalizations in higher dimensions.

Les équations cinétiques modélisent l'évolution de systèmes de particules hors équilibre thermodynamique (exemple : gaz, plasma). Contrairement aux modèles fluides, elles sont posées dans l'espace des phases et font intervenir la variable vitesse.

Dans un premier temps, on exposera leur structure commune et leur caractéristiques générales. On montrera le théorème H de Boltzmann, qui stipule que l'entropie décroit jusqu'à ce que l'équilibre thermodynamique soit atteint (pour un système isolé).

Dans un second temps, on considerera des équations cinétiques linéarisées autour de l'état d'équilibre. On exposera une technique d'hypocoercivité permettant de montrer une version quantitative du théorème H.