Séminaire des doctorants (archives)

Les mouvements collectifs auto-organisés, comme les bancs de poissons ou les nuées d'oiseaux, peuvent être décrits par une approche microscopique (à l'échelle de l'individu), mais aussi par une approche macroscopique (à l'échelle de la densité et de la vitesse moyenne des individus), plus utile et moins coûteux pour modéliser de larges populations. Dans ce but, nous pouvons étudier la limite macroscopique du modèle particulaire de Vicsek, qui est un système d'équations hyperboliques non conservatif. Cette présentation a pour but d'introduire des éléments d'analyse et d'analyse numérique des systèmes d'équations hyperboliques. Nous introduirons tout d'abord les outils nécessaires pour l'étude de tels systèmes et la résolution de problèmes de Riemann liés à ceux-ci. Dans un deuxième temps, nous verrons comment approcher numériquement les solutions de problèmes conservatifs, avec notamment les schémas volumes finis de type Godunov.

Lorsqu'une variété porte un champ d'hyperplans intégrable, elle est feuilletée en sous-variétés immergées. En dimension 2, on peut penser à des courants marins qui partitionnent l'océan. De nombreux outils ont été développés pour étudier les liens entre la topologie des feuilles, celle de la variété feuilletée et l'agencement des feuille entre elles. Dans cet exposé, on se propose de présenter plusieurs questions classiques comme l'existence de feuilles fermées ou de transversales compactes à travers plusieurs exemples. Ce sera l'occasion de faire de nombreux dessins.

In this talk, my goal is to explain what it means to degenerate the complex structure of a Riemann surface and how this fits in the study of the moduli space of complex flat connections. I will start by recalling what a Riemann surface is and explain why their study has been central in geometry until now. Then, I will give an intuition of what degenerating their complex structure means, and I hope to introduce the audience to the question that drives me in my current research.

Les tenseurs sont des objets qui apparaissent naturellement dans de nombreux domaines scientifiques, notamment en physique. Ils sont également un outil puissant pour la résolution numérique de problèmes en grande dimension, où il s'agit souvent d'approximer des fonctions de plusieurs variables. En exploitant la structure de ces tenseurs, il est possible de concevoir des méthodes numériques efficaces, même dans des contextes de très haute dimension.

Dans ce séminaire, nous introduirons d'abord la notion de tenseur, suivie d'une présentation des principales décompositions de tenseurs de faible rang. Nous aborderons notamment la décomposition canonique (CP), la décomposition de Tucker, la décomposition Tensor-Train, ainsi que, de manière plus générale, la décomposition hiérarchique.

Apparue au 19ème siècle avec notamment les travaux de W. Hamilton, la géométrie symplectique a pris un rôle prépondérant dans la description mathématique de la mécanique moderne. Le but de cet exposé est d'en expliquer quelques notions fondamentales, en exploitant plusieurs exemples issus de divers domaines de la physique, tels que l'optique géométrique, la mécanique analytique ou encore la thermodynamique. On verra aussi en quoi la géométrie symplectique donne un cadre adapté à l'étude des liens entre symétries, invariants et intégrabilité d'un système, dans la continuité des théorèmes de E. Noether et J. Liouville.

Un processus auto-régressif multivarié (VAR) de dimension p est défini par l’équation Xt+1=ΘXt+Zt​ où Θ est une matrice réelle de taille p*p et (Zt)_t est un bruit blanc gaussien. Dans cet exposé, je vous présenterai deux axes de recherche visant à étudier les processus VAR dans un contexte de grande dimension.

Dans un premier temps, on analysera les réalisations d’un processus VAR en supposant que la dimension p du processus (Xt)t est élevée. Sous l’hypothèse que la matrice Θ est de rang faible, l’objectif sera de déterminer si elle subit un changement au cours du temps ou non. Pour détecter cette rupture, nous proposerons un test statistique dont l’efficacité sera évaluée à l’aide de simulations numériques.

Dans un second temps, on s'intéressera à la question de savoir si Θ est nulle ou non, autrement dit, si notre processus est un bruit blanc ou non. Pour cela, nous examinerons la plus grande valeur propre de la matrice d’autocovariance empirique du processus VAR. Cette partie de l’exposé s’attachera donc à l’étude des valeurs propres de matrices aléatoires, avec une première partie sur les théorèmes de base de la théorie des matrices aléatoires hermitiennes. Ensuite, nous étudierons le cas des matrice aléatoires non hermitiennes, c'est le cas de la matrice d'autocovariance empirique par exemple . La plus grande difficulté dans l’étude des valeurs propres d’une matrice non hermitienne est leur instabilité : une perturbation, même minime, peut avoir un très fort impact dans le comportement des valeurs propres.

Cette présentation explore les variétés toriques, où géométrie et combinatoire se rencontrent. Nous montrons comment des éventails (objets géométriques simples) définissent des variétés algébriques riches, en établissant un dictionnaire précis entre leurs propriétés. La correspondance est illustrée par des exemples classiques (espaces projectifs, cônes) puis étendue aux variétés horosphériques, révélant des applications en géométrie birationnelle. Un pont entre visualisation concrète et théorie profonde.

Les surfaces d'Alexandrov à courbure intégrale bornée sont les surfaces les plus générales telles que le théorème de Gauß-Bonnet existe et admettant des coordonnées isothèrmes. Une fois cette introduction faite nous discuterons, suivant la théorie de Sturm, l'existence d'inégalité de Poincaré, de mesure doublante, d'inégalité d'Harnack et enfin de noyau de la chaleur.

A quoi peut ressembler l'ensemble des zéros d'un polynômes réels en deux variables de degré fixé? D'un certain point de vue topologique, cette question a été résolu par Axel Harnack en 1876.

Plus de 100 ans plus tard, la méthode du patchwork combinatoire offre un outil simple et puissant pour répondre à cette question et à d'autres. Et ce sans même savoir ce qu'est un polynôme!

L'objectif de cet exposé sera de construire des courbes maximales par la méthode du patchwork.

[French]

Après avoir introduit les noeuds legendriens, nous discuterons de quelques liens avec leur pendant symplectique, les sous-variétés lagrangiennes. Cela nous permettra d'introduire une relation entre les noeuds legendriens qui descend à leurs classes d'isotopies. Nous nous intéresserons plus particulièrement à des résultats qui lient la topologie d'un remplissage lagrangien exact au type d'isotopie legendrienne du noeud.

[English]

In this talk, we'll first introduce legendrian knots together with connections with their symplectic counterpart, lagrangian submanifolds. We'll then discuss how those connections allow to define a relation between legendrian knots that descends to their isotopy classes. Finally, we'll focus on results that link the topology of an exact lagrangian filling of a legendrian knot and the isotopy type of this knot.