Séminaire des doctorants (archives)

Given an ordinary differential equation A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0, its solutions f(x,y) define a decomposition of the plane outside the zeros of A(x,y) and B(x,y) into regular curves. This is a prototype of a foliation, the leaves being the solutions of the given differential equation. In general, a foliation will be a generalization of this concept, i.e. instead of taking one equation, we take a system of equations, and to have solutions we demand an integrability condition. In this talk, I will introduce the concept of holomorphic foliation and give a characterization of regular foliations on rational surfaces.

Pour tout ensemble $X$ infini on peut définir son groupe de permutation $\mathfrak{S}(X)$. On note alors $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ le sous-groupe des permutations à support fini sur lequel il existe un morphisme signature naturel. Cependant, une observation de Vitali (1915) remarque que ce morphisme ne s'étend pas à $\mathfrak{S}(X)$. Dans cet exposé nous donnerons des sous-groupes de $\mathfrak{S}(X)$ qui contiennent $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ en particulier nous nous intéresserons au groupe des transformations d'échanges d'intervalles avec flip : IET$^{\bowtie}$. Puis nous construirons une extension du morphisme signature sur ces groupes et dans un dernier temps nous regarderons comment ce morphisme nous permet de classifier leurs sous-groupes normaux.

L’équation de Landau est un modèle cinétique utilisé pour la modélisation des plasmas. Elle décrit l’évolution de la fonction de densité des particules F(t,x,v) à un temps t, une position x et une vitesse v. En particulier, l'équation de type Landau linéaire est une équation cinétique inhomogène dont l’étude est motivée par la linéarisation de l’équation de Landau près d’une Maxwellienne. Dans cet exposé, on va étudier l’hypoellipticité et les propriétés spectrales associées à l'opérateur de type Landau (localiser le spectre et estimer la résolvante).

Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion d'optimisation de forme et dérivée de forme. Pour cela, je vais opter pour deux approches, notamment celle de Murat-Simon, utilisant la dérivation au sens de Fréchet, puis l’approche de Hadamard utilisant la dérivée eulérienne. En suite, je m'intéresserai à la dérivation de quelques fonctionnelles géométriques volumiques. Enfin, je vais terminer par un problème inverse géométrique du type Bernoulli.

Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion d'attracteurs en dimension 2 (dans un plan) et en dimension 3 par l'intermédiaire du célèbre attracteur de Lorenz. L'objectif sera donc d'apporter des éléments de réponses aux questions suivantes en présentant quelques bases des systèmes dynamiques : qu-est-ce qu'un attracteur (étrange ou non) ? Comment apparaissent de tels objets ? Peut-on les classifier ? Comment prouver leur existence ?

On verra donc dans un premier temps quelques définitions (attracteur, ensembles \oméga-limites...) nécessaires à la présentation du théorème de Poincaré-Bendixson, puis dans un second temps quelques propriétés de l'ODE de Lorenz et de son attracteur étrange.

En 1986, Gromov fait paraître son livre "Partial differential relations", dans lequel il développe une méthode très générale pour résoudre des "relations" aux dérivées partielles (équations mais aussi inéquations). Le but de cet exposé est d'introduire ces idées via le théorème de Whitney-Graustein (prouvé par Whitney en 1937), qui classifie les immersions du cercle dans le plan et qui est sans doute l'exemple le plus simple d'application du h-principe.

Dans sa thèse soutenue en 1951, Kenneth Arrow, généralisa le paradoxe soulevé deux siècle auparavant par Nicolas de Condorcet. Il y démontra l’impossibilité d'agréger un ensemble de préférences individuelles en une préférence collective en respectant quatre conditions pourtant souhaitables : l’universalité, la non-dictature, l’unanimité et l’indépendance aux alternatives non pertinentes. Quelques vingt ans après, le Philosophe Allan Gibbard et l’économiste Mark Satterthwaite démontrèrent indépendamment des résultats analogues. Nous verrons dans cet exposé ces théorèmes comme corollaires d’un théorème plus général du à Ning Neil Yu publié en 2012. Nous parlerons ensuite des limites imposées par le modèle d’Arrow et si le temps le permet, des modes de scrutin alternatifs, en particulier celui du jugement majoritaire développé par les deux chercheurs français Michel Balinski et Rida Laraki.

Simultanément avec la formalisation du concept de variétés différentielles, est démontré le théorème de plongement de Whitney. Bien que le cas isométrique C^1 résistait aux tentatives de démonstration il était sûr que celui-ci serait proche de ses prédécesseurs. Il fallut attendre que ce problème attire l'attention de John Nash avant que la réponse ne soit donnée, celle-ci intrigua alors bon nombre de mathématiciens, dont Mikhaïl Gromov qui s'en inspira pour construire la théorie du h-principe. Des années plus tard, un groupe de mathématiciens font une avancée supplémentaire et obtiennent des images renversantes du théorème de Nash-Kuiper. Après une introduction historique, nous essaierons dans un temps limité de donner une brève démonstration de ce théorème en omettant au mieux les notions de variétés afin de le rendre plus accessible. Ensuite nous donnerons la possibilité aux participants de s'émerveiller devant la beauté des résultats combinés sur plusieurs décennies, puis en fonction du temps restant nous introduirons rapidement quelques bases du h-principe.

Many mathematical models are non-deterministic: it means that for several runs of the model with the same input values do not lead to the same output. In this framework, a natural indicator about the performance of the model for certain input values is the expectation of its associated ouputs. From an optimization point of view, it can be interesting to find the input values associated with the highest ouput mean. This presentation is about a state of the art to address optimization problems in this framework. We focus particularly on discrete optimization, i.e. when the set of input values is finite.

Cette thèse est dédiée à l'étude de l'équation cinétique de Fokker-Planck en présence d'un champ magnétique externe et fort. Premièrement, nous montrons le retour exponentiel à l'équilibre des solutions de cette équation dans des espaces de type $L^p$ et des espaces de Sobolev à poids polynomial non-classique. Deuxièmement, nous nous intéressons à une estimation de type maximal sur l'opérateur associé. Cette estimation permet de donner une meilleure caractérisation du domaine de la fermeture de l'opérateur considéré. Finalement, nous étudions l'opérateur quadratique de Fokker-Planck électro-magnétique. Nous calculons explicitement la norme du semi-groupe associé à l'opérateur considéré. Nous montrons des estimations explicites et précises de cette norme en temps petit et long ainsi que des estimations uniformes en temps lorsque le paramètre magnétique tend vers l'infini.