In 1953, Roth proved that a set in ${1, \dots,N} containing no non trivial arithmetic progressions of length three has size at most $O(N/log(log(N))$ using Fourier analysis. Although his method does not directly apply to longer arithmetic progressions, Roth’s proof features interesting connections between Fourier analysis and the additive structure of a set. To illustrate this, I will give some elements of the proof in the finite field setting.
You may have heard about type theory, either through the world of proof assistants such as Lean or Rocq, or because one of your colleagues was way too enthusiastic about Homotopy Type Theory 10 years ago.
Type theories are formal languages used to express mathematics, similarly to more traditional logics, and are often used as foundations for formalization projects.
While it might seem that this question of foundations has already been settled for a long time, it is a very dynamic field with many new theories and results, finding applications outside of pure theoretical interest.
The goal of this talk is to give a good idea of what research in type theory is like, but also to show what type theory can bring to mathematics beyond being a vehicle for formalization.
We will talk about proof assistants and what we want from them, new ways of thinking with synthetic mathematics, and language as an object of study.
In recent years, Optimal Transport (OT) has established itself as an influential mathematical tool. In particular, OT has been successfully applied to a wide variety of fields. In this presentation, we will discuss several of these applications, notably in geometry, differential equations and applied mathematics. Rather than focusing on technical details, the aim of this presentation is to provide a general and intuitive picture of the subject.
Poisson processes provide a basic model for describing events occurring over time, when these events do not interact with each other, such as phone calls or customer arrivals. This model becomes less suitable when past events influence the probability of appearance of future events, as in the case of earthquake aftershocks or neuronal interactions. Hawkes processes provide a natural framework for modeling such temporal dependencies, in particular through self-excitation.
In this talk, we will first introduce Poisson processes and then Hawkes processes, before focusing on statistical inference, i.e. parameter estimation from observed data. We will also discuss model comparison to decide which model is better suited to the data.
Finally, we will discuss some extensions allowing for more complex temporal interactions, such as inhibition or memory of variable length, and present an application to real neuronal data.
In finite-dimensional quantum mechanics, density matrices provide the most general mathematical description of a quantum physical system. One of the fundamental postulates of quantum mechanics states that the time evolution of a single closed quantum system is unitary.
What happens when we consider composite systems consisting of multiple particles, or when the system is not isolated and can interact with its environment? The most general (physically relevant) evolutions of quantum systems are described by a particular class of linear maps called completely positive trace-preserving maps (also known as quantum channels).
The aim of this talk is to motivate and introduce the concept of completely positive trace-preserving maps, and eventually explore their real counterpart, and discuss some open problems such as the PPT-squared conjecture.
Les flots de Reeb forment une classe très générale de flots sur des espaces de dimension impaire, qui généralise les flots hamiltoniens de la mécanique classique. Leur étude systématique depuis les années 1970 cherche à répondre à différentes questions sur leur dynamique, par exemple concernant l'existence et le nombre de trajectoires périodiques du système.
Une façon d'aborder ces problèmes en dimension 3 est d'utiliser la notion de surface de Birkhoff. De tels objets permettent de ramener l'étude du flot à celle de la dynamique, plus simple, des transformations des surfaces en dimension 2. Une manière d'obtenir une telle surface de Birkhoff pour les flots de Reeb est de chercher une décomposition en livre ouvert de l'espace ambiant.
Le but de cet exposé est de présenter ces techniques à travers des exemples simples de flots de Reeb et de décompositions en livres ouverts en dimension 3. On donnera aussi quelques éléments sur la classification des difféomorphismes de surfaces, et sur ses conséquences sur la dynamique des flots de Reeb.
Le théorème de Pick permet de lier l'aire d'un polygone et les points entiers de celui-ci.
Je vous propose de découvrir ensemble ce qui se passe en plus grandes dimensions: comment compter les points entiers des polytopes et que peuvent-ils nous dire?
La réponse à ces questions initiée par Erhrart est riche et intersecte de nombreux domaines des mathématiques.
On verra notamment la définition du vecteur h-étoile qui est un invariant numérique puissant des polytopes entiers.
Selon le temps on essayera de faire des applications aux carrés magiques et au nombre de McNuggets™.
Des réseaux de neurones résiduels aux modèles génératifs basés sur les flots, les champs vectoriels et leur flot jouent un rôle central dans les méthodes modernes de Machine Learning. Bien que plusieurs extensions de ces méthodes aux variétés riemanniennes aient été proposées à ce jour, la question de la définition de ces champs de vecteurs sur de tels espaces a été en grande partie négligée, les approches existantes s'appuyant en général sur des solutions alternatives dont l'interprétation géométrique est limitée. Inspirés par la formulation hyperbolique des réseaux résiduels riemanniens, nous proposons une construction intrinsèque de champs de vecteurs paramétrisables applicable à un large éventail d'espaces, comprenant notamment les variétés de Cartan-Hadamard. Notre approche repose sur la fonction de Busemann et tire parti de ses propriétés géométriques favorables. Nous démontrons la pertinence et la flexibilité du cadre proposé à travers des expériences numériques sur différentes tâches dans l'espace hyperbolique et les variétés de matrices symétriques définies positives.
