Séminaire des doctorants (archives)

A classic problem in statistics is to test whether two populations of observations are similar (i.e. equally distributed). The first tests developed were parametric, it means that we had to make strong assumptions on the underlying distribution, typically Gaussian assumptions. They were also not well-defined for high-dimension (when the number of features exceeds the number of observations). Recently, non-parametric two-sample tests especially designed for high-dimension were developed. I will present a group of such tests very popular in the machine learning community, which takes roots in kernel methods, a branch of non-linear statistics

Dans cet exposé on commence par présenter la formule de la co-aire, qui relie l'intégrale d'une fonction de R^d dans R a la mesure d-1 dimensionnelle de ses zéros. On fera la preuve très simple en dimension 1. Si f est un processus stochastique gaussien stationnaire, alors le passage à l'espérance nous permet de montrer la formule de Katz-Rice, qui donne le nombre moyen de zéro (ou le volume moyen des zéros en dimension supérieure) d'un tel processus.

Nous choisirons ensuite un processus particulier, plus précisément une somme Gaussienne de fonctions propres. En dimension 1, on retrouve la théorie des polynômes trigonométriques aléatoires. On en déduira une asymptotique en loi du volume des zéros, puis on donnera un regard plus approfondi en observant que ce processus converge localement vers un processus limite.

Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans la première partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.

Les opérateurs de Schrödinger se sont imposés comme un incontournable dans la physique des particules. Après avoir donné une motivation physique de l'étude spectrale de tels opérateurs dans la limite dite semi-classique, je présenterai dans mon exposé les estimées L^p de Koch, Tataru et Zworski. Ces bornes donnent une description de la concentration des fonctions propres des opérateurs de Schrödinger dans l'espace euclidien. Elles se généralisent, dans un travail en cours, à des familles orthonormales de fonctions propres.

Glioblastoma Multiforme (GBM) is the deadliest and the most frequent brain tumour, only 5% of patients survive more than 5 years after being diagnosed. Patients go through emergency surgery and are being treated with both chemotherapy (Temozolomide) and radiotherapy. But those treatments still remain inefficient with that cancer because of the cellular heterogeneity. In this work, the goal is to model and simulate the evolution of the tumorigenesis and the therapeutic response of the GBM. Multiple phenomena are modelled: tumour diffusion, chemotaxis, haptotaxis and reaction. They all correspond to biological systems: the cellular cycle, apoptosis, autophagia or angiogenesis. To solve numerically the previous system on a MRI, a nonlinear Control Volume Finite Element scheme is used on a mesh fitting the geometry of the brain and the tumour. The numerical scheme is implicit in time. Numerical simulations of this scheme have been done and the usual treatments (surgery, chemotherapy and radiotherapy) are used to understand the behaviour of the tumour-response to treatments.

On donne des conditions suffisantes pour qu'une variété riemannienne à poids possède une inégalité de Fefferman-Phong. On discutera aussi brièvement d'une généralisation de ce résultat, et de quelques conséquences.

Le problème consistant à savoir si on peut placer une table de pique-nique sur un sol continu, de telle sorte que tous ses pieds touchent le sol, est plus subtil qu'il n'y paraît. On y apportera une réponse grâce à un théorème de Dyson sur les fonctions continues sur la sphère euclidienne de dimension 2 à valeurs dans R, dont on présentera une preuve n'utilisant que des notions élémentaires de topologie. Si le temps nous le permet, on utilisera un résultat similaire, le théorème de Borsuk-Ulam, pour montrer qu'on peut d'un unique coup de couteau, couper à la fois le pain, la tomate et la salade d'un sandwich en quantités égales.

Après une présentation des techniques classiques employées pour l'étude des équations de Schrödinger linéaires et non-linéaires usuelles, on s'intéressera à une équation de Schrödinger non-linéaire particulière issue de la mécanique Bohmienne (théorie déterministe de la mécanique quantique) présentant deux non-linéarités logarithmiques : étude de solutions particulières (gaussiennes), existence locale de solutions, comportement en temps long, comportement numérique, etc... L'accent sera notamment mis sur le lien entre équation de Schrödinger et mécanique des fluides quantique.

De l'ADN aux plastiques, en passant par les protéines ou encore le caoutchouc, ces molécules complexes partagent une même structure de chaîne qui leur fait porter le nom de "polymères". On peut les décrire mathématiquement par une grande classe de modèles, ce qui permet d'étudier les phénomènes biophysiques ou chimiques dans lesquels ils sont impliqués (comme l'adsorption d'un polymère à une surface, ou la (dé)-naturation d'un polymère). L'objectif de cet exposé est de présenter quelques modèles basiques, qui sont soumis à des phénomènes appelés "transitions de phase". À travers ces modèles, nous décrirons ce que ces "transitions" représentent physiquement pour la molécule, et comment nous pouvons les mettre en évidence mathématiquement. Enfin, nous verrons dans un modèle plus avancé comment nos outils peuvent être adaptés pour étudier des phénomènes encore plus fins, comme les "transitions de surface".

Après une présentation des invariants de legendriennes à bord, incluses dans une variété de contact à bord suturé, je traiterai deux exemples issus de la construction conormale, illustrant les liens entre invariants topologiques et invariants de contact. Tout d'abord, je montrerai que l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique détermine le noeud. Si le temps le permet, j'exposerai aussi le cas des 2-tresses locales, qui sont déterminées par leurs conormaux.