Séminaire des doctorants (archives)

La dynamique hyperbolique s'intéresse à certains types de phénomènes chaotiques régis par des équations différentielle non-linéaires. Le point fort de ces dynamiques est l'existence d'outils puissants permettant d'analyser qualitativement la dynamique au voisinage des points d'équilibres du système. Dans cet exposé, nous verrons un de ces outils, le théorème des variétés stables, ainsi que certaines de ses applications en analyse et en topologie.

The multilevel method is a class of algorithms that allowed the sampling probability distribution, these methods are based on (overdamped) Langevin approximation. The purpose is to sample an approximation of Bayesian estimator with a controlled cost, in particular with the dimension and the required precision. After an introduction of the statistical issues we will present multilevel methods for sampling a Gibbs measure and the complexity of these algorithms.

En dimension 1, il est facile de calculer le nombre d'entiers compris dans une boule centrée en 0 et de rayon arbitraire. En dimension supérieure, la tache se complique et rien que calculer les 2 premiers termes de l'asymptotique (du nombre de point à coordonnées entières compris dans une boule centrée en 0 et de rayon arbitrairement grand) n'est pas évident. Dans cet exposé, nous verrons comment l'analyse de Fourier permet de majorer le deuxième terme de ce développement asymptotique. Ceci est un résultat extrait des notes de Matthew Blair :

https://math.unm.edu/~blair/math565f17/ftsurfacespherenotesf17.pdf

Bien que tout nombre complexe admette toujours au moins une racine carré, on sait qu’il est impossible de définir une fonction « racine carrée » qui soit continue sur C. Autrement dit, on ne peut pas trouver de fonction continue f telle que, pour tout z, f(z) est racine du polynôme t^2 - z = 0. Nous verrons que ce type de résultat se généralise dans le cadre des variétés algébriques affines complexes. Le but de cet exposé sera de présenter les bases de la géométrie algébrique avec, comme fil rouge, la démonstration de l’énoncé suivant :

Soit X une variété algébrique affine. On note X(C) l’ensemble algébrique associé à X dans C^n et C[X] l’anneau des fonctions polynomiales à valeur dans X(C). Soit f une fonction continue pour la topologie euclidienne sur X(C) telle qu’il existe un polynôme dans C[X][t] qui l’annule. Alors f est une fonction rationnelle.

Afin d’assurer l’unicité des solutions, il est nécessaire d’adjoindre aux équations hyperboliques des inégalités d’entropies. Les schémas numériques vérifiant de telles inégalités sont souvent peu précis (premier ordre) et les techniques de montée en ordre usuelles rendent difficiles voire inaccessibles toutes formes de preuves liées au caractère entropique. Ainsi, après avoir rappelé le contexte et illustré les enjeux numériques à l’aide d’exemples, je détaillerai la construction de schémas numériques d’ordre élevé restituant au niveau discret un critère d’entropie global.

On travaille sur l'opérateur magnétique de Schrödinger avec des conditions aux bords de Neumann dans un domaine borné et régulier dans R^2. Le but est de démontrer comment les électrons sont distribués sur une plaque métallique sous l'influence d'un champ magnétique dirigé vers cette plaque.

La marche de l’éléphant est un processus aléatoire introduit au début des années 2000 par des physiciens. Il s'agit d'une marche aléatoire avec un paramètre de mémoire, la loi de chaque nouveau pas dépend de tous les pas précédents. Le modèle des urnes de Pòlya est plus ancien et revient, dans son approche la plus simple, à remplir une urne avec deux boules de différentes couleurs, en tirer une au hasard et la remettre en ajoutant une autre boule de la même couleur, puis à répéter l'opération. Dans cet exposé, je présenterai la marche de l’éléphant ainsi que son lien avec une généralisation du modèle des urnes de Pòlya.

Le présent travail concerne la dérivation d'un schéma bien équilibré pour approximer les solutions faibles du modèle de Saint-Venant avec terme source de topographie. Ici, le schéma numérique capture exactement toutes les solutions stationnaires avec des vitesses non nulles. Pour résoudre un tel problème, un schéma de type Godunov est adopté. Une attention particulière est portée à la dérivation des états intermédiaires dans le solveur de Riemann approché. En effet, en raison des états stationnaires mouvants, les états intermédiaires peuvent être mal définis. Ici, nous introduisons une correction appropriée afin d'obtenir un schéma de volumes finis entièrement bien défini. De plus, la méthode numérique est établie pour être positive et pour satisfaire une inégalité d'entropie discrète avec de petites perturbations. Plusieurs expériences numériques, y compris la transition sec/mouillée, illustrent la pertinence du schéma conçu.

In this presentation, we provide a result on the derivation of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system from the Landau equation for hard, Maxwellian and moderately soft potentials. We first investigate the Cauchy theory associated to the rescaled Landau equation for small initial data.

Dans cet exposé, je vous présenterai dans un premier temps la notion de système dynamique mesuré (SDM) ainsi que deux de leurs propriétés : la conservativité et l'ergodicité. Une fois ces notions introduites je pourrais, dans un second temps, m'atteler à la définition de l'application de "temps de premier retour" dans un certain ensemble mesurable pour ensuite énoncer et présenter la preuve du Lemme de Kac. C'est un résultat très pratique dont la preuve est visuellement intuitive mais formellement un peu moins digeste.