Séminaire des doctorants (archives)

Afin d’assurer l’unicité des solutions, il est nécessaire d’adjoindre aux équations hyperboliques des inégalités d’entropies. Les schémas numériques vérifiant de telles inégalités sont souvent peu précis (premier ordre) et les techniques de montée en ordre usuelles rendent difficiles voire inaccessibles toutes formes de preuves liées au caractère entropique. Ainsi, après avoir rappelé le contexte et illustré les enjeux numériques à l’aide d’exemples, je détaillerai la construction de schémas numériques d’ordre élevé restituant au niveau discret un critère d’entropie global.

On travaille sur l'opérateur magnétique de Schrödinger avec des conditions aux bords de Neumann dans un domaine borné et régulier dans R^2. Le but est de démontrer comment les électrons sont distribués sur une plaque métallique sous l'influence d'un champ magnétique dirigé vers cette plaque.

La marche de l’éléphant est un processus aléatoire introduit au début des années 2000 par des physiciens. Il s'agit d'une marche aléatoire avec un paramètre de mémoire, la loi de chaque nouveau pas dépend de tous les pas précédents. Le modèle des urnes de Pòlya est plus ancien et revient, dans son approche la plus simple, à remplir une urne avec deux boules de différentes couleurs, en tirer une au hasard et la remettre en ajoutant une autre boule de la même couleur, puis à répéter l'opération. Dans cet exposé, je présenterai la marche de l’éléphant ainsi que son lien avec une généralisation du modèle des urnes de Pòlya.

Le présent travail concerne la dérivation d'un schéma bien équilibré pour approximer les solutions faibles du modèle de Saint-Venant avec terme source de topographie. Ici, le schéma numérique capture exactement toutes les solutions stationnaires avec des vitesses non nulles. Pour résoudre un tel problème, un schéma de type Godunov est adopté. Une attention particulière est portée à la dérivation des états intermédiaires dans le solveur de Riemann approché. En effet, en raison des états stationnaires mouvants, les états intermédiaires peuvent être mal définis. Ici, nous introduisons une correction appropriée afin d'obtenir un schéma de volumes finis entièrement bien défini. De plus, la méthode numérique est établie pour être positive et pour satisfaire une inégalité d'entropie discrète avec de petites perturbations. Plusieurs expériences numériques, y compris la transition sec/mouillée, illustrent la pertinence du schéma conçu.

In this presentation, we provide a result on the derivation of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system from the Landau equation for hard, Maxwellian and moderately soft potentials. We first investigate the Cauchy theory associated to the rescaled Landau equation for small initial data.

Dans cet exposé, je vous présenterai dans un premier temps la notion de système dynamique mesuré (SDM) ainsi que deux de leurs propriétés : la conservativité et l'ergodicité. Une fois ces notions introduites je pourrais, dans un second temps, m'atteler à la définition de l'application de "temps de premier retour" dans un certain ensemble mesurable pour ensuite énoncer et présenter la preuve du Lemme de Kac. C'est un résultat très pratique dont la preuve est visuellement intuitive mais formellement un peu moins digeste.

Je vous propose d'étudier 3 petits problèmes d'optimisation, et dans leur résolution d'aborder la méthode des multiplicateurs de Lagrange, ainsi que le principe de Fermat. Nous découvrirons entre autre les raisons qui donnent à nos boîtes de conserve leurs formes et leurs dimensions actuelles!

La stabilisation d'équations aux dérivées partielles consiste à trouver une manière d'agir sur un système de manière à rendre asymptotiquement stable un point d'équilibre. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la stabilisation d'une classe d'edp diffusives, contenant en particulier les équations de la chaleur fractionnaire, à partir d'ensembles dits "épais". Dans un premier temps, nous commencerons par nous familiariser avec cette notion d'épaisseur qui a récemment joué un rôle important dans la théorie du contrôle. Dans une seconde partie, nous verrons comment ces ensembles épais, à travers des principes d'incertitude, nous permettent de déduire des résultats de stabilisation. Cet exposé est basé sur un travail en collaboration avec Paul Alphonse (ENS Lyon).

The Zakarov system is a simplified model for the description of long-wavelength small-amplitude Langmuir oscillation in a ionized plasma. Langmuir waves are rapid oscillations of the electron density. In our case we study a stochastic version of the Sakharov system, which means a Zakharov system perturbed by a sochastic noise. In this talk, I will try to explain the general study plan for a Partial Differential Equation (PDE), then I will introduce some stochastic tools to show how it is possible to gather deterministic and stochastic theories to solve our problem.

Un problème de contrôle optimal est associé à un système dynamique de la forme y'=f(y,a), où le paramètre a est un contrôle fixé par l'opérateur et à un coût que l'on cherche à minimiser. L'approche de Bellman consiste à étudier la fonction valeur du problème. Celle-ci est solution de viscosité d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Depuis 2013, une théorie des équations de H-J posées sur un réseau a été développée (Achdou-Camilli-Cutri-Tchou et Imbert-Monneau-Zidani), associées justement à un système dynamique évoluant sur cette structure. Dans cet exposé je parlerai de la théorie des solutions de viscosité et des équations de Hamilton Jacobi, et je présenterai le travail que j'effectue en thèse, qui consiste à essayer d'approcher un problème de contrôle sur le réseau à partir d'une suite de problèmes de contrôles posés sur tout l'espace. Plus précisément, on démarre d'un système dynamique contrôlé dans tout le plan auquel on ajoute un terme de pénalisation pour ramener les solutions vers un réseau du plan et on cherche le problème limite qui devrait être un problème de contrôle posé sur le réseau.