Séminaire des doctorants (archives)

Un groupe de Baumslag-Solitar est un groupe à deux générateurs et une relation dont certaines propriétés peuvent être déduites en étudiant son action sur un espace géométrique. Je présenterai un moyen de construire un arbre sur lequel BS(p,q) agit et montrerai comment utiliser cette action pour prouver que ce groupe ne contient pas Z^3.

Lorsque qu’on s’intéresse à la résolution numérique du problème des vagues, on remarque que se donnant une subdivision du temps de résolution, il est nécessaire de résoudre un problème de Laplace différent pour chaque pas de temps. Considéré tel quel, ceci est extrêmement coûteux. Dans cet exposé, je vous présenterai une manière d’obtenir une méthode de résolution numérique efficace, reposant sur le redressement du domaine de résolution, via des transformations conformes.

La fonction Delta de Hooley est une fonction arithmétique qui mesure la concentration logarithmique des diviseurs d'un entier donné, nous verrons dans un premier temps quelques propriétés concernant cette fonction, ainsi que quelques applications associées; puis, nous nous intéresserons à ce qui se passe lorsque l'on "tord" cette fonction par un caractère de Dirichlet non trivial.

Dans un corps ordonné (typiquement Q ou R), un élement est positif si et seulement si il est somme de carrés. Pour un anneau ordonné (typiquement un anneau de fonctions sur un corps ordonné) il existe des élements positifs qui ne sont pas somme de carrrés. Ce lien entre positivité et somme de carrés, introduit par le 17e problème de Hilbert, est au cœur de la géométrie algébrique réelle. Nous en explorerons les fondements pour aboutir aux théorèmes de Schmüdgen et Putinar, qui donnent des conditions suffisantes pour que des fonctions soient écrivables comme somme de carrés.

La topologie des courbes complexes compactes (dimension réelle 2) est bien comprise : depuis Riemann, on sait que la topologie d'une telle courbe est décrite par un entier naturel : son genre. Mais les choses se compliquent lorsqu'on cherche à comprendre la topologie des surfaces complexes (dimension réelle 4). Dans cet exposé je présenterai un outil important utilisé par Poincaré pour étudier la topologie des surfaces algébriques complexes : les pinceaux (et les fibrations) de Lefschetz.

In this talk, I give a formula for counting complex rational curves passing through certain configuration of points on the 3- dimensional projective space $\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1$ by using the counting on the 2-dimensional projective space $\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1$ blowing-up at 2 points. That gives rise to the fancy formula for Gromov-Witten (GW) invariants in the Fano threefolds of index 2 with related to the GW invariants in one specific type of surfaces which realise one half of their first Chern class.

Dans les années 70, Thurston développe une théorie dite des corrugations. L'idée centrale de cette théorie est d'utiliser des oscillations dans le but de résoudre des contraintes géométriques. Elle sera mise en pratique en 94 pour construire un retournement de la sphère. Les récentes visualisations de plongements isométriques (tore plat, sphère réduite) font également apparaître des oscillations. Ceci n'est pas un hasard et nous verrons pourquoi dans cet exposé.

Dans cet exposé, on étudiera le comportement en temps grand de la solution de l'équation de Schrödinger en dimension 3 "idu/dt = Hu" avec un opérateur linéaire non auto-adjoint H ayant un nombre fini de singularités spectrales (une valeur propre ou une résonance au seuil zéro et de résonances réelles positives qu'on définira). On s’intéressera à l'analyse des propriétés spectrales de l'opérateur H en énergies basse (près de zéro) et intermédiaire (près des résonances réelles positives) dans des espaces de Sobolev appropriés. On obtiendra les développements asymptotiques de la solution de l'équation étudiée quand t tend vers + infini dans les deux situations: zéro est une valeur propre ou zéro est une résonance et pas une valeur propre de H.

Après une présentation topologique des tresses et leur structure algébrique, je présenterai une résolution du problème des tresses via deux algorithmes : le peignage d'Artin et la réduction de poignée de Dehornoy.

En mécanique statistique, l’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles qui décrit l’évolution temporelle de la fonction de densité de probabilité de la vitesse d’une particule sous l’influence des forces de traînée et des forces aléatoires. L’opérateur de Fokker-Planck dérive de cette équation cinétique par changement de variable. La difficulté de l’étude de cet opérateur vient du fait qu’il n’est ni auto-adjoint, ni elliptique ni sectoriel. Dans cet exposé je veux présenter une nouvelle méthode basant sur des estimations hypoelliptiques et des critères plus fins qui aboutit à localisation du spectre de l'opérateur de Fokker-Planck et ainsi le retour à l'équilibre.