Séminaire des doctorants (archives)

Un problème inverse consiste à remonter aux causes partant des effets. Dans une première partie, à partir du problème inverse de Calderόn, nous expliquerons de manière générale en quoi peut consister en mathématiques la résolution d'un tel problème. Dans un second temps, nous exposerons dans les grandes lignes la preuve de sa résolution par Ulhmann et Sylvester en 1987 dans le cas isotrope et en dimension supérieure ou égale à trois.

Un grand nombre de processus aléatoires peuvent être modélisés par des Chaînes de Markov. Un des intérêts de ces Chaînes est que leur comportement limite (c'est-à-dire en temps long) est assez simple à déterminer. L'objectif de cet exposé (qui se veut non-technique et accessible à tou-te-s) sera d'énoncer un théorème limite sur les Chaînes de Markov, et d'étudier quelques exemples simples comme des marches aléatoires sur des graphes, ou bien un procédé de mélange d'un jeu de cartes.

On commencera par expliquer ce qu'est une forme normale de Birkhoff, pour des équations Hamiltoniennes en dynamique classique. En un mot, il s'agit de construire un bon changement de variable, qui rende l'équation plus simple. Ensuite, on verra comment adapter cette méthode dans un cadre semiclassique : Sjostrand a introduit une forme normale de Birkhoff pour un opérateur de Schrödinger. Ceci permet de voir l'opérateur comme une simple fonction d'un oscillateur harmonique, et d'en déduire une approximation de ses valeurs propres dans la limite semiclassique. Enfin, on utilisera les mêmes techniques pour construire des formes normales pour le Laplacien magnétique.

Une structure de contact sur une variété V de dimension 2n+1 est un champ d'hyperplans maximalement non-intégrable L=ker A, où A est une 1-forme telle que A∧(dA)^n>0. L'homologie de contact de la paire (V,L) est un invariant qui peut être grossièrement interprété comme l'homologie de Morse de l'espace des lacets lisses C(S^1,V), cependant son calcul est en général difficile. Après une bref exposition de ces théories (et en fonction du temps disponible), on montrera un résultat de Colin, Ghiggini et Honda qui permet de simplifier la situation lorsqu'une 3-variété est présentée comme un livre ouvert : [CGH] Soit S une surface orientable, de bord non vide, et H un difféomorphisme de S préservant le bord. Si V = (S^1 x D^2) ∪ ([0,1]xS / (0,x)~(1,H(x)) est munie d'une structure de contact adaptée, alors l'homologie de contact de (V,L) est isomorphe à celle du tore de suspension [0,1]xS / (0,x)~(1,H(x)).

Au cours de cet exposé on présentera les ensembles simpliciaux et dendroidaux. Ce sera le prétexte idéal pour faire passer de la théorie des catégories en contrebande. On s'attachera ensuite à montrer comment les utiliser pour formaliser des notions de structures à homotopie près, la rencontre entre l'algèbre et la topologie. Cet exposé sera truffé de dessins et s'efforcera de faire passer les intuitions derrière l' "absurdité abstraite".

On va s'intéresser au théorème de Perron-Frobenius qui énonce notamment qu'une matrice positive fortement irréductible a une valeur propre dominante. Après quelques explications sur ce théorème et quelques exemples d'applications à de (nombreux !) domaines des mathématiques, on abordera une preuve due à Garrett Birkhoff. Cette preuve exhibe le vecteur propre de la valeur propre dominante comme point fixe d'une application contractante pour la métrique de Hilbert, que l'on introduira à l'occasion. L'étude de cette métrique fait appel à des propriétés de géométrie élémentaire. On parlera éventuellement plus généralement de métriques projectives et de la pertinence du choix de la métrique de Hilbert dans la preuve de Birkhoff. Enfin, on parlera éventuellement de la situation en dimension infinie.

Le but de cette thèse est de construire et analyser des schémas numériques capables de discrétiser les solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques avec terme source. La propriété principale recherchée dans ces travaux est la préservation de l’asymptotique, c’est-à-dire que les schémas développés doivent rester précis en régime de diffusion, à savoir en temps long et terme source raide. La première partie de cet exposé est consacré à la présentation d’un résultat de convergence numérique rigoureux pour un schéma discrétisant les solutions du p-système. Le taux de convergence ainsi obtenu est exprimé explicitement et est en accord avec les résultats déjà connus dans les cadres continu et semi-discret. La seconde partie de cet exposé est dédiée à la présentation de deux schémas préservant l’asymptotique pour les équations de Saint-Venant avec terme source de friction de Manning. La première méthode exposée constitue une généralisation du schéma HLL perturbé proposé par Berthon et Turpault afin de traiter les termes sources de forme quadratique tandis que la deuxième méthode de construction permet de préserver à la fois tous les états stationnaires et la limite de diffusion.

The bidomain and monodomain models are widely used models in simulating cardiac electrical activity. In this talk, we first briefly describe the unfolding homogenization approach to rigorously derive the bidomain equations from a microscopic model with tensorial and space dependent conductivities . Secondly, we present a positive nonlinear control volume finite element (CVFE) scheme, based on Godunov's flux approximation of the diffusion term, for the monodomain model coupled to a physiological ionic model (Beeler-Reuter model) and using an anisotropic diffusion tensor. In this scheme, degrees of freedom are assigned to vertices of a primal triangular mesh, as in finite element methods. The diffusion term which involves an anisotropic tensor is discretized on a dual mesh using the diffusion fluxes provided by the conforming finite element reconstruction on the primal mesh. The scheme ensures the validity of the discrete maximum principle without any restrictions on the transmissibility coefficients. The convergence of the scheme is proved using a compactness argument. Finally, the efficiency of the proposed scheme is illustrated by showing some numerical results.

Dans cet exposé, je souhaite d'abord introduire, à travers des exemples typiques et frappants, les notions de base et les premiers résultats en géométrie de contact de dimension trois, ce qui me permettra ensuite de motiver l'investigation de la topologie des nœuds legendriens. J'évoquerai en particulier certains résultats de rigidité qui distinguent la classification des nœuds legendriens de celles des nœuds topologiques. Enfin, selon le temps restant à ma disposition, j'expliquerai comment ces questions se généralisent aux dimensions impaires par l'étude des sous-variétés legendriennes des variétés de contact générales.

Standard numerical methods (such as finite elements) are efficient to solve PDEs in low dimension but intractable for high-dimensional problems. In order to overcome these limits, we propose an adaptive sparse approximation method based on a probabilistic interpretation of PDEs (using Feynman-Kac representation). Monte-Carlo methods are used to get noisy pointwise evaluations of the solution of a PDE and to construct an approximate interpolation of this solution. Here pointwise evaluations are obtained using a sequential control variates algorithm proposed by Gobet & Maire, where control variates are constructed from successive approximations of the solution of the PDE. Two different algorithms are proposed, combining adaptive sparse approximation and sequential control variates algorithm in two different ways. We will show different numerical examples to illustrate the behavior of the algorithms.