Séminaire des doctorants (archives)

Dans cet exposé, on étudiera le comportement en temps grand de la solution de l'équation de Schrödinger en dimension 3 "idu/dt = Hu" avec un opérateur linéaire non auto-adjoint H ayant un nombre fini de singularités spectrales (une valeur propre ou une résonance au seuil zéro et de résonances réelles positives qu'on définira). On s’intéressera à l'analyse des propriétés spectrales de l'opérateur H en énergies basse (près de zéro) et intermédiaire (près des résonances réelles positives) dans des espaces de Sobolev appropriés. On obtiendra les développements asymptotiques de la solution de l'équation étudiée quand t tend vers + infini dans les deux situations: zéro est une valeur propre ou zéro est une résonance et pas une valeur propre de H.

Après une présentation topologique des tresses et leur structure algébrique, je présenterai une résolution du problème des tresses via deux algorithmes : le peignage d'Artin et la réduction de poignée de Dehornoy.

En mécanique statistique, l’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles qui décrit l’évolution temporelle de la fonction de densité de probabilité de la vitesse d’une particule sous l’influence des forces de traînée et des forces aléatoires. L’opérateur de Fokker-Planck dérive de cette équation cinétique par changement de variable. La difficulté de l’étude de cet opérateur vient du fait qu’il n’est ni auto-adjoint, ni elliptique ni sectoriel. Dans cet exposé je veux présenter une nouvelle méthode basant sur des estimations hypoelliptiques et des critères plus fins qui aboutit à localisation du spectre de l'opérateur de Fokker-Planck et ainsi le retour à l'équilibre.

Les noeuds (mathématiques) sont des objets topologiques souvent présentés comme étant extrêmement souples et un des problèmes est de réussir à en faire la liste (infinie). Dans cet exposé, je présenterais une vision beaucoup plus rigide et combinatoire des noeuds afin d'implémenter un algorithme permettant la génération (et la classification) des noeuds.

Un problème inverse consiste à remonter aux causes partant des effets. Nous donnerons deux exemples de tels problèmes (ainsi que des phénomènes qu'ils modélisent) : celui de Sturm-Liouville et celui de Calderón. Dans une dernière partie, nous examinerons le lien qui existe entre les deux, et comment la résolution du premier peut aboutir à celle du second.

L'équation différentielle $y'(z)=\frac{1/2}{z} y(z)$ a pour solution la fonction $z^{1/2}$. Lorsque l'on tente de définir cette expression comme une fonction sur $\mathbb{C}$, on doit se resteindre à un sous-ensemble simplement connexe ne contenant pas le point $0$ : on est face à un problème de monodromie.

La correspondance de Riemann--Hilbert nous dit qu'il existe un seul système différentiel singulier régulier dont les solutions vérifie une certaine donnée de monodromie.

Le but de cet exposé est de motiver cette correspondance puis d'expliquer comment en déduire le théorème de Birkhoff--Grothendieck sur la structure des fibrés vectoriels sur la sphère de Riemann.

Un chromosome est composé de deux brins d'ADN accrochés entre eux, formant la structure de double-hélice bien connue. Lorsque l'on augmente la température, les deux brins se détachent partiellement (voire complètement) l'un de l'autre, phénomène que l'on appelle la "dénaturation" de l'ADN. Le modèle de Poland-Scheraga introduit dans les années 70 permet de modéliser mathématiquement ce phénomène, et a même été étendu pour étudier des systèmes d'accrochage de polymères dans une plus grande généralité. L'objectif de cet exposé est d'étudier précisément ce phénomène de dénaturation de l'ADN, pour par exemple obtenir des propriétés macroscopiques du système à partir de cette modélisation.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur la décroissance exponentielle du semi-groupe associé à l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur, dans des espaces de Banach avec un poids polynomial. J’introduirai d’abord la méthode d’hypocoercivité avec un poids exponentiel, puis j’expliquerai la théorie d’élargissement d’espace de Banach.

La topologie des variétés réelles est un domaine très intéressant qui a connu un essor considérable, surtout depuis les années 70. Dans cet exposée, je présenterai beaucoup d'exemples pour comprendre une des façons d'étudier cette branche des mathématiques. Si le temps le permet, je voudrais aussi présenter l'idée derrière mon projet de thèse.

Un coloriage d'un graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux coloriages de certains graphes infinis qui apparaissent naturellement lorsqu'un groupe dénombrable agit sur un espace. Par exemple, on peut penser au graphe construit à partir d'une « rotation irrationnelle » sur le cercle. Ici, le groupe des entiers relatifs agit sur le cercle, et induit un graphe : on relie deux points du cercle par une arête exactement lorsque la rotation irrationnelle envoie l'un des points sur l'autre. On peut alors se demander quelles informations l'on obtient sur le groupe en s'intéressant aux coloriages des graphes qu'il induit.

En me basant sur des travaux de Conley et Kechris, j'introduirai plusieurs invariants combinatoires (nombre d'indépendance, nombre chromatique) dans ce contexte, qui permettent de déduire des informations des graphes vers les groupes, et vice-versa.