Séminaire des doctorants (archives)

Dans un premier temps, on parlera de géométrie des groupes. On essayera de voir comment on peut dessiner et représenter un groupe en tant qu'espace géométrique, notamment en introduisant les graphes de Cayley. On parlera ensuite du nombre de bouts d'un espace topologique en général, puis d'un groupe de type fini. On montrera alors le très joli résultat suivant (attribué à Freudenthal et Hopf): un groupe de type fini a soit 0, soit 1, soit 2 soit une infinité de bouts. Si le temps le permet, on parlera de la classification des groupes ayant 2 bouts et des groupes ayant une infinité de bouts.

Le volume de données disponibles est en perpétuelle expansion.

Il est primordial de fournir des méthodes efficaces et robustes permettant d'en extraire des informations pertinentes.

Nous nous focalisons sur des données pouvant être représentées sous la forme de nuages de points dans un certain espace muni d'une métrique, e.g. l'espace Euclidien R^d, générées selon une certaine distribution. Parmi les questions naturelles que l'on peut se poser lorsque l'on a accès à des données, trois d'entre elles sont abordées dans cette thèse.

La première concerne la comparaison de deux ensembles de points. Comment décider si deux nuages de points sont issus de formes ou de distributions similaires ? Nous construisons un test statistique permettant de décider si deux nuages de points sont issus de distributions égales (modulo un certain type de transformations e.g. symmétries, translations, rotations...).

La seconde question concerne la décomposition d'un ensemble de points en plusieurs groupes. Etant donné un nuage de points, comment faire des groupes pertinents ? Souvent, cela consiste à choisir un système de k représentants et à associer chaque point au représentant qui lui est le plus proche, en un sens à définir. Nous développons des méthodes adaptées à des données échantillonnées selon certains mélanges de k distributions, en présence de données aberrantes.

Enfin, lorsque les données n'ont pas naturellement une structure en k groupes, par exemple, lorsqu'elles sont échantillonnées à proximité d'une sous-variété de R^d, une question plus pertinente est de construire un système de k représentants, avec $k$ grand, à partir duquel on puisse retrouver la sous-variété. Cette troisième question recouvre le problème de la quantification d'une part, et le problème de l'approximation de la distance à un ensemble d'autre part. Pour ce faire, nous introduisons et étudions une variante de la méthode des k-moyennes adaptée à la présence de données aberrantes dans le contexte de la quantification.

Les réponses que nous apportons à ces trois questions dans cette thèse sont de deux types, théoriques et algorithmiques.

Les méthodes proposées reposent sur des objets continus construits à partir de distributions et de sous-mesures.

Des études statistiques permettent de mesurer la proximité entre les objets empiriques et les objets continus correspondants. Ces méthodes sont faciles à implémenter en pratique lorsque des nuages de points sont à disposition.

L'outil principal utilisé dans cette thèse est la fonction distance à la mesure, introduite à l'origine pour adapter les méthodes d'analyse topologique des données à des nuages de points corrompus par des données aberrantes.

Dans cet expose, je vais présenter le problème de la ruine en actuariat qui se traduit mathématiquement par l'étude du temps de passage en dessous de 0 de certains processus stochastiques. Je vais motiver ce problème et expliquer les questions qui apparaissent naturellement. Je présenterai ensuite des résultats récents obtenus avec L. Vostrikova pour un modèle d'assurance investissant dans un marche financier et les appliquerai dans le cas fondamental de l'investissement dans un actif modélise par le modèle Black-Scholes.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un processus stationnaire du second ordre $X=(Xt)$, $t\in \mathbb{R}^+$, défini en temps continu. Dans les faits, les processus à temps continu ne sont pas observés sur l'intégralité de leur trajectoire mais seulement à des instants discrets. On pose $Y=(Yn)$, $n \in \mathbb{N}$ le processus échantillonné tel que $Yn=X{Tn}$ où $Tn$ correspond à l'instant de la $n$ème observation. On suppose que les inter-arrivées sont indépendantes et identiquement distribuées de densité sur $\mathbb{R}^+$. Le but de l'exposé est de regarder si l'échantillonnage préserve les propriétés du processus initial. En particulier, on donnera des résultats sur la mémoire du processus échantillonné $Y$ par rapport au processus initial $X$, ainsi que sur la non-préservation du caractère gaussien.

In this exposition, I will give an introduction to the problems of compactification and reduction of the moduli spaces of Galois covers. The most classical examples are modular curves with level structures, which over the complex number field $\mathbb{C}$ are classically known as quotients of the upper half plane by various congruence subgroups of $SL_2(\mathbb{Z})$. In the first part of the talk, I will talk about the work of Katz-Mazur of extending the modular curves to $Spec(\mathbb{Z})$ and the geometry of their bad reductions modulo primes dividing the levels. In the later part, I will discuss the higher genus generalization of the compactification problem, with possibly wild ramifications.

Le Laplacien sur $R^n$ se généralise naturellement dans le cadre de la géométrie riemmanienne. Dans $R^n$, son spectre est continu, mais sur une corde vibrante à bouts fixes, il est discret et déterminé par la longueur de celle-ci. De manière générale, sur une variété compacte, son spectre est discret et est lié à la géométrie de la variété. L'objectif de l'exposé sera de présenter un résultat de Cheng donnant une borne sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien sur les surfaces fermées en fonction de leur topologie. En particulier, Cheng démontre que quel que soit la métrique $g$ que l'on met sur la sphère $S^2$, la première valeur propre aura au plus multipicité 3, comme dans le cas de la sphère ronde habituelle!

Je commencerai par une courte présentation du Laplacien avant d'entrer en matière. Je donnerai les grandes étapes de la démonstration en m'attardant sur les arguments les plus amusants.

Les résonances réelles de l'opérateur de Schrodinger sont des nombres réels pour lesquels l'opérateur admet une fonction propre généralisée (qui n'est pas dans L^2). Ces valeurs, si elles existent, sont responsables de certains problèmes physiques et mathématiques. Dans cet exposé, je vais parler dans un premier temps d'un phénomène physique remarquable, l'effet d'Efimov, dû à la résonance au seuil zéro. Ensuite, je présenterai un travail de Ikebe-Saito sur le principe d'absorption limite pour un opérateur modèle non auto-adjoint et les propriétés de ses résonances réelles.

My talk is about the convergence analysis of a positive control volume finite element scheme (CVFE) for a degenerate compressible two-phase flow model in porous media. An implicit Euler scheme in time and a CVFE discretisation in space are used to discretize the equations of the model. The maximum principle and energy estimates are fulfilled without any constraint on stiffness coefficients. We then establish that any sequence of solutions converges to a weak solution of the continuous problem, up to a subsequence, as the size of the mesh tends to zero. Numerical tests are presented in two dimensional space to show the behavior of the water saturation and the gas pressure.

L'objectif de cette présentation est d'arriver à classifier les courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes. Après quelques rappels sur le groupe modulaire SL(2,Z) et sur le demi plan de Poincaré, nous commencerons l'étude des fonctions paraboliques associées à des tores complexes. L'apparition naturelle des séries d'Eisenstein nous donnera le premier exemple de formes modulaire. L'étude de l'espace engendré par ces fonctions, nous permettra de trouver un invariant permettant de trouver une correspondance entre le demi plan de Poincaré à l'ensemble des courbes elliptiques.

Nous commencerons par introduire des outils classique de systèmes dynamiques comme les droites de Brouwer et l'indice de Lefschetz d'un point fixe d'un homéomorphisme d'une surface. Nous verrons ensuite comment la théorie de Patrice Le Calvez permet d'aller plus loin dans la compréhension de tels homeomorphismes. Nous présenterons la notion de feuilletages equivariant et les théorèmes d'existence. Nous finirons alors par des applications pour illustrer cette théorie.