Séminaire des doctorants (archives)

Le Laplacien sur $R^n$ se généralise naturellement dans le cadre de la géométrie riemmanienne. Dans $R^n$, son spectre est continu, mais sur une corde vibrante à bouts fixes, il est discret et déterminé par la longueur de celle-ci. De manière générale, sur une variété compacte, son spectre est discret et est lié à la géométrie de la variété. L'objectif de l'exposé sera de présenter un résultat de Cheng donnant une borne sur la multiplicité des valeurs propres du Laplacien sur les surfaces fermées en fonction de leur topologie. En particulier, Cheng démontre que quel que soit la métrique $g$ que l'on met sur la sphère $S^2$, la première valeur propre aura au plus multipicité 3, comme dans le cas de la sphère ronde habituelle!

Je commencerai par une courte présentation du Laplacien avant d'entrer en matière. Je donnerai les grandes étapes de la démonstration en m'attardant sur les arguments les plus amusants.

Les résonances réelles de l'opérateur de Schrodinger sont des nombres réels pour lesquels l'opérateur admet une fonction propre généralisée (qui n'est pas dans L^2). Ces valeurs, si elles existent, sont responsables de certains problèmes physiques et mathématiques. Dans cet exposé, je vais parler dans un premier temps d'un phénomène physique remarquable, l'effet d'Efimov, dû à la résonance au seuil zéro. Ensuite, je présenterai un travail de Ikebe-Saito sur le principe d'absorption limite pour un opérateur modèle non auto-adjoint et les propriétés de ses résonances réelles.

My talk is about the convergence analysis of a positive control volume finite element scheme (CVFE) for a degenerate compressible two-phase flow model in porous media. An implicit Euler scheme in time and a CVFE discretisation in space are used to discretize the equations of the model. The maximum principle and energy estimates are fulfilled without any constraint on stiffness coefficients. We then establish that any sequence of solutions converges to a weak solution of the continuous problem, up to a subsequence, as the size of the mesh tends to zero. Numerical tests are presented in two dimensional space to show the behavior of the water saturation and the gas pressure.

L'objectif de cette présentation est d'arriver à classifier les courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes. Après quelques rappels sur le groupe modulaire SL(2,Z) et sur le demi plan de Poincaré, nous commencerons l'étude des fonctions paraboliques associées à des tores complexes. L'apparition naturelle des séries d'Eisenstein nous donnera le premier exemple de formes modulaire. L'étude de l'espace engendré par ces fonctions, nous permettra de trouver un invariant permettant de trouver une correspondance entre le demi plan de Poincaré à l'ensemble des courbes elliptiques.

Nous commencerons par introduire des outils classique de systèmes dynamiques comme les droites de Brouwer et l'indice de Lefschetz d'un point fixe d'un homéomorphisme d'une surface. Nous verrons ensuite comment la théorie de Patrice Le Calvez permet d'aller plus loin dans la compréhension de tels homeomorphismes. Nous présenterons la notion de feuilletages equivariant et les théorèmes d'existence. Nous finirons alors par des applications pour illustrer cette théorie.

Dans cet exposé je présenterai le jeu de cartes SET. Le but du jeu étant de trouver des combinaisons de trois cartes satisfaisant certaines propriétés. Un grand problème se pose alors : combien de cartes faut-il disposer sur la table pour être sûr d'avoir au moins une combinaison gagnante ? Je donnerai une reformulation de ce problème en géométrie affine sur le corps à trois éléments qui permet de répondre à la question. Je proposerai également des généralisations de ce jeu utilisant la géométrie projective finie.

Le spectre d'un graphe aléatoire est constitué des valeurs propres de la matrice d'adjacence associée. D'un point de vue probabiliste, on s'intéresse aux spectres de grands graphes aléatoires dilués, c'est à dire contenant un grand nombre de sommets et un nombre d'arêtes proportionnel au nombre de sommets. Dans cet exposé, je donnerai un résultat de convergence du spectre pour certaines suites de graphes aléatoires dont la taille tend vers l'infini. La preuve, basée sur la méthode des moments, m'amènera à compter des chemins sur des graphes et à introduire la notion de convergence locale.

On s'intéresse aux fréquences de résonances de cavités optiques bidimensionnelles présentes dans certains micro-résonateurs optiques et plus particulièrement aux modes de galerie: ce sont des modes localisés à la frontière de la cavité. Dans un premier temps nous allons voir comment calculer numériquement les résonances d'une cavité. Les résonances et modes sont solution d'un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'interface et d'ondes sortantes à l'infini. On va devoir modifier ce problème afin de pouvoir faire un calcul numérique mais cela va créer des modes parasite que l'on va devoir distinguer des modes résonants. Parmi les résonances, nous ne sommes intéressés que par celle à mode de galerie. Donc dans une deuxième partie nous verrons comment localiser les résonances à mode de galerie parmi les résonances grâce à des développements asymptotiques pour certain type de cavité.

On commence par un rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle. Ensuite, on élabore la théorie de l'élargissement. Finalement, on présente une application à l'équation de Fokker-Planck afin d'étendre le résultat de la décroissance exponentielle du semi-groupe près de l'équilibre global $µ$ dans l'espace de Lebesgue à poids $L^p(m)$.

La théorie géométrique des groupes associe aux groupes infinis des invariants dits asymptotiques ; parmi ceux-ci, le cône asymptotique, qui correspond à "l'image que l'on observerait depuis une distance infinie". Si deux groupes $G$ et $G'$ ont des cônes asymptotiques liés par un homéomorphisme bilipschitzien, celui-ci est-il toujours induit par une application entre $G$ et $G'$ respectant (dans un sens approché) leur structure métrique ? On donnera un sens précis à cette question dans le langage de la géométrie sous-linéairement lipschitzienne à grande échelle récemment introduite par Yves de Cornulier, et on examinera spécifiquement les groupes de Lie réels hyperboliques, que l'on comparera au cas (très différent) des groupes nilpotents.