Séminaire des doctorants (archives)

L'exposé présentera quelques photographies en gros plan de courbes holomorphes dans leur milieu naturel. L'occasion de se poser à leur sujet quelques questions métaphysiques : d'où viennent-elles ? quel est le but de leur existence ? que deviennent-elles après leur mort ? Les réponses nous conduiront à aborder deux notions clé : celles de compacité et de transversalité.

On commencera par rappeler des propriétés de base sur la stabilité des systèmes hyperboliques à coefficients constants. Les critères de stabilité obtenus par Kreiss dans les années 1970 sont les fondements de l'étude du caractère bien posé des systèmes hyperboliques. On traitera un exemple issu de la MHD : nous verrons comment appliquer les outils introduits dans le cas général pour étudier la stabilité des nappes de tourbillon-courant incompressibles.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. Nous verrons comment le choix de l'espace des positions influe sur le type de résultat obtenu et sur la méthode employée.

Dans cet exposé, nous parlerons de sous-variétés legendriennes dans des variétés de contact. On peut se demander : étant données deux sous-variétés legendriennes, sont-elles isotopes ? sont-elles concordantes ? ou sont-elles reliées par un cobordisme lagrangien ? Nous définirons ces termes et verrons plusieurs résultats autour de ces différentes relations.

On commencera par introduire les espace hyperboliques au sens de Gromov. On s'intéressera essentiellement à deux exemples: les variétés différentielles hyperboliques et les arbres.

Après un bref exposé des isométries de ces espaces, on étudiera le comportement asymptotique des marches aléatoires dans les espace Gromov-hyperboliques: transience et convergence au bord.

Les martingales locales forment une classe de processus fondamentale en probabilités. Sur un espace vectoriel elles sont régies par une propriété d’espérance conditionnelle. Je commencerai donc par définir la notion de martingale sur une variété différentiable : comme pour les géodésiques, on supposera la variété munie d’une connexion linéaire. Une fois ce type d’objet bien défini on s’intéressera au problème suivant : une variable aléatoire étant fixée, peut-on trouver une martingale qui a pour valeur terminale cette variable aléatoire ? Si oui, est-elle unique ? Je proposerai une méthode qui fait appel aux EDSR (équations différentielles stochastiques rétrogrades), des équations issues du monde de la finance qui permettent ici de résoudre le problème au voisinage d’une carte locale.

A choisir parmi « Exposants de Lyapunov : Qui sont-ils ? À quoi servent-ils ? » et « Les géométries réelles de dimension 3 » Selon le choix du public, l’exposé sera: 1) Les exposants de Lyapunov, qui apparaissent en 1892 dans la thèse de Alexandre Lyapunov, sont un outil pour caractériser la stabilité des systèmes dynamiques. Dans le cas de la dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle f de ℙn(ℂ) il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. L'idée fondamentale est d'utiliser une mesure f-invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne lorsque le cas par cas est trop difficile à appréhender. Cela permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite Dxfn. Le but de l'exposé sera de présenter quelques endroits naturels où ces fameux exposants de Lyapunov apparaissent ainsi que les premiers résultats de la théorie ergodique et leur application à la dynamique holomorphe. 2) On entend souvent parler de "géométrie euclidienne" ou encore de "géométrie sphérique". Mais qu'appelle t'on réellement une géométrie ? Et combien y'en a-t-il ? Après avoir défini ce qu'est une géométrie, on verra ensemble les grands classiques que sont les géométries de dimension 1 et 2 et je vous présenterai les 8 géométries de dimension 3 établies par Thurston dans les années 70. Avec un peu de chance, je vous expliquerai comment reconnaitre la géométrie d'une 3-variété fermée compacte en regardant son groupe fondamental. Avec beaucoup de chance, je mentionnerai la conjecture de géométrisation de Thurston prouvée par Perelman en 2003.

Le but de cet exposé sera d'introduire le concept de masse et d'expliquer comment la positivité de cet invariant permet de comprendre la géométrie de variétés riemanniennes non compacts. Après un détour par la relativité générale, qui est son milieu d'origine, on s'intéressera en particulier au cas des variétés kählériennes asymptotiquement euclidiennes, cas dans lequel le théorème de la masse positive a été démontré récemment par Hein et Lebrun.

Dans cet exposé, nous étudierons la notion de relation de dispersion, d’un point de vue physique, et mathématiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des plasmas froids magnétisés à travers l’exemple des ceintures de Van Allen. Le but sera alors d’exposer la situation physique étudiée et les différents résultats obtenus jusqu’à maintenant sur le sujet.