Séminaire des doctorants (archives)

C'est en 1958 que René Thom posa la question fatidique: "Peut-on munir n'importe quelle variété compacte lisse d'une métrique riemannienne mieux que les autres ?". Après avoir défini ce que l'on entend par une métrique riemannienne sur une variété, on se demandera ce qu'on entend au juste par "mieux que les autres". Cela nous amènera à parler de courbure, ou plutôt de courbures: qu'est-ce que la courbure d'une courbe ? D'une surface dans R^3 ? Comment généraliser aux dimensions supérieures ? SI le temps le permet, je parlerai du cadre plus spécifique dans lequel je travaille, celui des métriques de Kähler, et les questions liées aux métriques canoniques dans ce contexte.

La formule de Green-Kubo exprime les courants de chaleur provoqués par une légère perturbation d'un équilibre thermique, en terme de corrélation entre les flux de chaleurs des sources chaudes et froides. Elle s'inscrit dans le cadre plus général de la réponse linéaire des courants d'énergie (relations de réciprocité d'Onsager et théorème de limite centrale) et des théorèmes de fluctuations de l'entropie (symétrie d'Evans-Searles et grandes déviations). Les systèmes en interactions répétées (SIR) sont un ensemble de modèles de physique quantique inspirés de l'expérience du One-Atom Maser : un faisceau d'atomes traverse une cavité électromagnétique. Dans cet exposé, on suppose que les atomes arrivent à des températures distinctes T1, T2, ..., Tm, de façon cyclique. On souhaite alors remontrer la formule de Green-Kubo dans une version adaptée à la dynamique discrète des SIR.

Colorions les entiers (disons relatifs) en bleu, vert, rouge. Quels sont les motifs que l'on peut observer dans cette suite ? Difficile de répondre à cette question, elle est assez large pour y faire rentrer des pans entiers de mathématiques contemporaines. Ça en fait un bon point de départ pour un séminaire, non ?

Je n'aurai malheureusement pas le temps d'exposer tous ces aspects ; je me concentrerai sur les résultats issus de la théorie des systèmes dynamiques (je vous encourage à aller regarder vous-même du côté de la théorie ergodique), et prouverai entre autres le théorème de Van der Waerden : pour tout coloriage avec un nombre fini de couleurs, il existe au moins une couleur contenant des suites arithmétiques arbitrairement longues. Ce résultat sympathique mais qui ne paie pas de mine est à la base du théorème de Green-Tao [2004] : les entiers premiers contiennent des suites arithmétiques arbitrairement longues. Et ça mes amis, c'est ce que l'on appelle de belles mathématiques.

Lorsqu'on prend une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 i.i.d de loi μ sur SL(n,R), on peut s'intéresser aux produits de ces matrices.

On prend μ une mesure de probabilité à support fini et on étudie l'asymptotique des produits Xn...X1 et X1...Xn d'abord dans le cas où le support de la mesure est commutatif. Dans le cas non commutatif on introduit les exposants de Lyapunov par une sorte de loi des grands nombre sur ces produits ainsi que plusieurs théorèmes limites dûs à Furstenberg-Kesten, Guivarc'h-Raugi. Un des objets limites associé est ce qu'on appelle la matrice de Lyapunov.

Une des questions que je pose est la suivante : où peut-on "trouver" ces moyennes de Lyapunov lorsqu'on fait varier le support de la mesure μ dans un sous-groupe Γ ?

Il est connu qu'un polynôme générique de degré d possède d racines complexes. Si le polynôme est réel, le nombre de racines réelles dépend fortement des coefficients. Je vais expliquer comment calculer la moyenne du nombre de racine réel d'un polynôme aléatoire à l'aide de la géométrie complexe et de la géométrie intégrale. Plus généralement, je vais introduire quelques problèmes typiques en géométrie réelle aléatoire.

J'introduirai la définition d'un système (dynamique) contrôlé. Je m'intéresserai à une question centrale : la notion de contrôlabilité. Dans un premier temps, nous aborderons le cas de la dimension finie (c'est à dire des équations différentielles linéaires ou non linéaires), de quels résultats nous disposons. Je m'attarderai sur certains concepts clefs qu'on pourra transposer en dimension infinie : la méthode HUM ou le linear test. Nous attaquerons ensuite le cas du contrôle de l'équation de la chaleur, des systèmes linéaires d'EDP paraboliques. Après avoir fait un bref rappel de modélisation, nous aborderons les systèmes de réaction diffusion issus de réactions chimiques. De toutes les méthodes précédemment vues, nous verrons les résultats qu'on peut établir sur ces systèmes, les principales difficultés qui apparaissent et quelques problèmes ouverts.

Cet exposé introduit au problème inverse dit de Calderon et spécifiquement à sa problématique d'unicité. On présentera brièvement son historique et ses enjeux pour ensuite donner les grandes étapes de la preuve d'unicité établie par Uhlmann et Sylvester dans le cas isotrope. Nous terminerons par quelques perspectives actuelles pour le cas non isotrope.

L'étude des mélanges de carte d'un point de vue mathématiques a entre autre été entrepris par le sympathique personnage de Perci Diaconis. Nous verrons dans cet exposé quelques-uns des outils mis en place par Diaconis et ses collaborateurs pour répondre à cette épineuse question du nombre de mélanges nécessaires afin de "randomiser" au mieux un jeu de carte.

In this talk we introduce the Kramers-Fokker-Planck equation as a way to describe Brownian motion. The summary of known results about the corresponding operator is presented and then our main aim is to study large-time asymptotics of solutions of the KFP equation with a short-range potential in dimension one. After finding the expansion of the resolvent near the threshold of the essential spectrum we may employ representation formula of the semigroup in terms of the resolvent to obtain the asymptotics of solutions.

On commencera par introduire les équations cinétiques avec ses notions principales, puis on donnera quelques éléments de base de la théorie de Semi groupe et le théorème de Hille-Yosida dans le cas d'un espace de Hilbert. Finalement, on étudiera l'équation de Vlasov-Fokker-Planck avec un potentiel électrique extérieur de confinement $V$, et on montrera le retour à l'équilibre thermodynamique globale avec un taux de décroissance exponentielle, en utilisant la méthode récente d'hypocoercivité.