Séminaire des doctorants (archives)

Nonlinear Schrodinger equation (NLS) is in the following form: $$i\frac{du}{dt}=-\Delta_x u + |u|^2u,$$, where $x$ lies in the torus $\mathbb{T}^d$, and $t\in \mathbb{R}$. We are going to study the behavior of the solution $u(t,x)$ ( corresponding to initial value $u(0,x)$). By applying Birkhoff normal forms, we see that in the one dimensional context, all solutions are linear stable. However, in higher dimensions , the answer is not that simple. I will introduce some recent important results, and explain the main idea in each case.

La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types). Autrement dit, lors de la reproduction cellulaire, on autorise l'apparition d'un nombre fini $d$ de mutations. On obtient alors un nouveau type de cellule. Nous définirons le codage de Lukasiewich-Harris pour de tels processus, c'est-à-dire que nous verrons comment coder notre processus à l'aide d'une matrice de marche aléatoire. Nous nous intéresserons ensuite au théorème du ballot, dans ce cas. Suivant le temps dont nous disposerons, nous essaierons de le montrer dans le cas $d=1$.

Toute surface différentielle peut être "habillée" par différentes structures géométriques sympathiques, par exemple une métrique riemannienne à courbure constante pour n'en citer qu'une. L'existence d'une structure de ce type pour toute surface (qui découle d'un résultat profond, le théorème d'uniformisation de Poincaré-Riemann) permet de les étudier à l'aide de la géométrie. Ce point de vue peut sembler anachronique puisque l'on connaît la classification topologique des surfaces sans avoir besoin de structures géométriques, mais cette "géométrisation" est cependant très utile à l'étude des surfaces. Dans cet exposé, je présenterai un exemple simple où l'on utilise la géométrie, non plus pour étudier les surfaces d'un point de vue topologique, mais pour classifier un certain type de systèmes dynamiques sur les surfaces. J'expliquerai ce qu'est un difféomorphisme Anosov, qui consiste à prescrire un comportement infinitésimal hyperbolique, et je me concentrerai sur un exemple particulier et tout à fait accessible : la transformation induite sur le tore T2 par une matrice inversible à coefficients entiers, et sans valeurs propres de module 1. L'objectif de l'exposé sera de comprendre pourquoi (sous deux petites hypothèses que nous préciserons) tout difféomorphisme Anosov sur une surface est en fait équivalent à l'exemple exposé plus haut. Pour faire cela, nous utiliserons une métrique lorentzienne préservée par le difféomorphisme étudié. Cette belle preuve (cas particulier d'un résultat beaucoup plus général) est tirée d'un travail de André Avez.

Dans cet exposé, on s’intéresse à la modélisation du changement de phase liquide-vapeur avec la prise en compte des états métastables contenus dans la loi de van der Waals. Un état métastable correspond à un état gazeux (resp. liquide) qui, après une légère perturbation, passe à l’état liquide (resp. gazeux) brutalement. Dans un premier temps, on présente les propriétés de la loi d’état de van der Waals dans ses représentations isotherme et non-isotherme. Puis on aborde l’étude d’un problème d’optimisation sous contraintes, ce qui nous permet de caractériser les états d’équilibre thermodynamique et le nombre de phases maximale qui peuvent coexister à l’équilibre thermodynamique. Ensuite, on construit des systèmes dynamiques dans le cas isotherme et non isotherme à travers lesquels l'énergie du mélange soit dissipée en temps et dont les équilibres coïncident avec l’équilibre thermodynamique. Ceux sont les états liquide et vapeur stables, métastables et l’état de coexistence. Enfin, on couple les systèmes dynamiques construits précédemment des systèmes hyperboliques diphasiques compressibles isotherme et non-isotherme.

À la croisée de la théorie de la mesure et de la géométrie, l’inégalité de Pólya–Szegő affirme que l’énergie des fonctions de Sobolev est décroissante pour le réarrangement symétrique décroissant. Cette inégalité, en lien avec l’inégalité isopérimétrique (et donc l’inégalité arithmético-géométrique), a notamment permis d’expliciter des maximiseurs dans l’inégalité de Sobolev. Je sais, ça fait beaucoup d’inégalités, mais j’introduirai toutes les notions nécessaires, et j’apporterai des preuves (élémentaires !) des résultats.

On s'intéressera au groupe fondamental d'une variété et à certaines généralisations. Un outil fondamental pour le calcul de cet invariant est le théorème de van Kampen, qui permet de déterminer $\pi1(U \cup V)$ à partir de $\pi1(U)$ et $\pi1(V)$, si $U\cap V$ est connexe. Mais cela ne s'applique pas au cercle, et l'on passe habituellement par les revêtements pour montrer que $\pi1(S^1) =\mathbb{Z}$. Dans cet exposé je présenterai une preuve alternative de ce résultat à l'aide des groupoïdes, qui sont des catégories représentant des "groupes fondamentaux avec plusieurs points de base". On prouvera ainsi un théorème de van Kampen sur les groupoïdes, et si le temps le permet on évoquera les généralisations en plus grand degré.

Cet exposé porte sur des discrétisations particulières des équations de Saint-Venant avec terme source de friction. Dans une première partie je présenterai le problème homogène ainsi que le problème de Riemann associé pour lequel on discutera de l'admissibilité des solutions faibles. Ensuite je présenterai un schéma développé de façon à préserver une certaine asymptotique. Cette dernière correspond aux solutions du problème dans le régime du temps long et de la friction dominante. Cette méthode, proposé par Berthon et Turpault, est usuellement utilisée dans le cas d'un terme source linéaire en la vitesse. Ici il est quadratique, c'est pourquoi l'extension proposée est loin d'être triviale. Pour finir, et si le temps le permet, je vous présenterai un second schéma construit, lui, pour préserver les états stationnaires (on dira qu'il est well-balanced). On montrera alors que ce schéma, correspondant à celui proposé par Victor Michel-Dansac (avec une modification ne perturbant pas le caractère well-balanced), préserve également l'asymptotique.

Une carte planaire c'est un graphe planaire muni de son dessin dans le plan. On peut aussi le voir comme une surface topologique discrète. Une manière de construire une géométrie 2-dimensionnelle aléatoire est de l'approximer par une grande carte planaire tirée au hasard. Je donnerai des résultats classiques sur les limites de cartes et parlerai des outils combinatoires et de processus stochastiques utilisés dans la théorie.

Dans un premier temps, on parlera de géométrie des groupes. On essayera de voir comment on peut dessiner et représenter un groupe en tant qu'espace géométrique, notamment en introduisant les graphes de Cayley. On parlera ensuite du nombre de bouts d'un espace topologique en général, puis d'un groupe de type fini. On montrera alors le très joli résultat suivant (attribué à Freudenthal et Hopf): un groupe de type fini a soit 0, soit 1, soit 2 soit une infinité de bouts. Si le temps le permet, on parlera de la classification des groupes ayant 2 bouts et des groupes ayant une infinité de bouts.

Le volume de données disponibles est en perpétuelle expansion.

Il est primordial de fournir des méthodes efficaces et robustes permettant d'en extraire des informations pertinentes.

Nous nous focalisons sur des données pouvant être représentées sous la forme de nuages de points dans un certain espace muni d'une métrique, e.g. l'espace Euclidien R^d, générées selon une certaine distribution. Parmi les questions naturelles que l'on peut se poser lorsque l'on a accès à des données, trois d'entre elles sont abordées dans cette thèse.

La première concerne la comparaison de deux ensembles de points. Comment décider si deux nuages de points sont issus de formes ou de distributions similaires ? Nous construisons un test statistique permettant de décider si deux nuages de points sont issus de distributions égales (modulo un certain type de transformations e.g. symmétries, translations, rotations...).

La seconde question concerne la décomposition d'un ensemble de points en plusieurs groupes. Etant donné un nuage de points, comment faire des groupes pertinents ? Souvent, cela consiste à choisir un système de k représentants et à associer chaque point au représentant qui lui est le plus proche, en un sens à définir. Nous développons des méthodes adaptées à des données échantillonnées selon certains mélanges de k distributions, en présence de données aberrantes.

Enfin, lorsque les données n'ont pas naturellement une structure en k groupes, par exemple, lorsqu'elles sont échantillonnées à proximité d'une sous-variété de R^d, une question plus pertinente est de construire un système de k représentants, avec $k$ grand, à partir duquel on puisse retrouver la sous-variété. Cette troisième question recouvre le problème de la quantification d'une part, et le problème de l'approximation de la distance à un ensemble d'autre part. Pour ce faire, nous introduisons et étudions une variante de la méthode des k-moyennes adaptée à la présence de données aberrantes dans le contexte de la quantification.

Les réponses que nous apportons à ces trois questions dans cette thèse sont de deux types, théoriques et algorithmiques.

Les méthodes proposées reposent sur des objets continus construits à partir de distributions et de sous-mesures.

Des études statistiques permettent de mesurer la proximité entre les objets empiriques et les objets continus correspondants. Ces méthodes sont faciles à implémenter en pratique lorsque des nuages de points sont à disposition.

L'outil principal utilisé dans cette thèse est la fonction distance à la mesure, introduite à l'origine pour adapter les méthodes d'analyse topologique des données à des nuages de points corrompus par des données aberrantes.