Séminaire des doctorants (archives)

Dans cet exposé je présenterai le jeu de cartes SET. Le but du jeu étant de trouver des combinaisons de trois cartes satisfaisant certaines propriétés. Un grand problème se pose alors : combien de cartes faut-il disposer sur la table pour être sûr d'avoir au moins une combinaison gagnante ? Je donnerai une reformulation de ce problème en géométrie affine sur le corps à trois éléments qui permet de répondre à la question. Je proposerai également des généralisations de ce jeu utilisant la géométrie projective finie.

Le spectre d'un graphe aléatoire est constitué des valeurs propres de la matrice d'adjacence associée. D'un point de vue probabiliste, on s'intéresse aux spectres de grands graphes aléatoires dilués, c'est à dire contenant un grand nombre de sommets et un nombre d'arêtes proportionnel au nombre de sommets. Dans cet exposé, je donnerai un résultat de convergence du spectre pour certaines suites de graphes aléatoires dont la taille tend vers l'infini. La preuve, basée sur la méthode des moments, m'amènera à compter des chemins sur des graphes et à introduire la notion de convergence locale.

On s'intéresse aux fréquences de résonances de cavités optiques bidimensionnelles présentes dans certains micro-résonateurs optiques et plus particulièrement aux modes de galerie: ce sont des modes localisés à la frontière de la cavité. Dans un premier temps nous allons voir comment calculer numériquement les résonances d'une cavité. Les résonances et modes sont solution d'un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'interface et d'ondes sortantes à l'infini. On va devoir modifier ce problème afin de pouvoir faire un calcul numérique mais cela va créer des modes parasite que l'on va devoir distinguer des modes résonants. Parmi les résonances, nous ne sommes intéressés que par celle à mode de galerie. Donc dans une deuxième partie nous verrons comment localiser les résonances à mode de galerie parmi les résonances grâce à des développements asymptotiques pour certain type de cavité.

On commence par un rappel sur des notions d'analyse fonctionnelle. Ensuite, on élabore la théorie de l'élargissement. Finalement, on présente une application à l'équation de Fokker-Planck afin d'étendre le résultat de la décroissance exponentielle du semi-groupe près de l'équilibre global $µ$ dans l'espace de Lebesgue à poids $L^p(m)$.

La théorie géométrique des groupes associe aux groupes infinis des invariants dits asymptotiques ; parmi ceux-ci, le cône asymptotique, qui correspond à "l'image que l'on observerait depuis une distance infinie". Si deux groupes $G$ et $G'$ ont des cônes asymptotiques liés par un homéomorphisme bilipschitzien, celui-ci est-il toujours induit par une application entre $G$ et $G'$ respectant (dans un sens approché) leur structure métrique ? On donnera un sens précis à cette question dans le langage de la géométrie sous-linéairement lipschitzienne à grande échelle récemment introduite par Yves de Cornulier, et on examinera spécifiquement les groupes de Lie réels hyperboliques, que l'on comparera au cas (très différent) des groupes nilpotents.

Le groupe de congruence est un groupe de matrices à coefficients entiers, bien connu des arithméticiens. Comme n'importe quel groupe, il est filtré par sa suite centrale descendante, et le gradué associé à cette filtration est un anneau de Lie (c'est-à-dire une algèbre de Lie sur $\mathbb Z$). En s'appuyant sur des travaux classiques de Bass, Milnor et Serre, on peut donner une description explicite de l'anneau de Lie du groupe de congruence, qui n'est autre qu'une algèbre de Lie de matrices à coefficients dans $\mathbb F_p[t]$. Le but de l'exposé sera de présenter ce calcul.

Dans cet exposé, on présentera quelques considérations sur certains problèmes inverses: peut-on entendre la densité d'une corde? En d'autres termes, peut-on, à partir du spectre de l'équation des cordes vibrantes inhomogènes,reconstruire la densité de la corde? Nous évoquerons également la question de Kac: peut-on entendre la forme d'un tambour? Tout sera fait de manière heuristique et/ou informelle.

On considère une fonction $u$ définie sur un ensemble $X$, muni d’une mesure de probabilité $\rho$. Le but est de construire l’approximation $u^*$ de cette fonction $u$ à partir d’observations de $u$ en certains points $(x_i)$, $i=1,…,n$, identiquement distribués selon la mesure $\rho$. Pour un espace d’approximation $V_m$ de dimension finie $m$, l’estimateur idéal de $u$ est donné par la projection orthogonale de $u$ sur $V_m$ au sens de la norme $L_2(X,\rho)$: $Pm(u)$. A cet estimateur idéal on associe l’erreur de meilleure approximation $em(u) = \| Pm(u) - u \|$.

Dans la pratique une méthode utilisée est l’estimation des moindres carrés pondérés, calculée à partir des $n$ échantillons. Cependant lorsque $n$ est trop proche de $m$, la dimension de l’espace d’approximation, la méthode des moindres carrés pondérés devient instable et inexacte pour certaines mesures de probabilité.

Pour un espace d’approximation $Vm$ donné et une mesure de probabilité $\rho$ donnée, comment choisir au mieux les $n$ échantillons dans l’espace d’approximation et les poids afin de s’assurer que l’erreur en norme $L2$, $\| u^* – u\|$, soit comparable à l’erreur de meilleure approximation $em(u)$ ?

La théorie du premier ordre d'un groupe G, notée Th(G), est l'ensemble des énoncés du premier ordre vrais dans G. Dans quelle mesure le groupe G est-il déterminé par Th(G) ? Plus précisément, si un groupe G' est indistinguable de G du point de vue de la logique (c'est-à-dire s'il vérifie Th(G)=Th(G')), G et G' partagent-ils certaines propriétés de nature algébrique ou géométrique ?

Le problème d'isotopie des tresses est un problème topologique. Pourtant grâce à plusieurs structures algébriques, nous exposerons la solution proposée par Dehornoy en 1995. Cette méthode, dite de réduction de poignée, résout complètement ce problème et peut être facilement implantée sur un ordinateur.