Séminaire des doctorants (archives)

Cet exposé concerne le PageRank ou algorithme de Google, inventé à la fin des années 90 par Brin et Page pour mettre au point un moteur de recherche bien connu. Il attribuait un degré d'importance (indice alors appelé PageRank) à chaque page web, valeur dépendante du nombre de pages contenant un lien hypertexte pointant vers cette dernière ainsi que du PageRank de ces pages. On présentera les origines de l'algorithme puis son fonctionnement, basé sur de l'algèbre linéaire.

On sait depuis les travaux d'Alexander, dans les années 20, que toute variété de dimension 3 admet une décomposition en livre ouvert. Bien plus tard, E Giroux montra qu'une telle décomposition - topologique pour Alexander - correspond en réalité à une (unique) structure de contact sur la variété. Dans cet exposé on donnera quelques exemples explicites de livres ouverts en basse dimension, on expliquera comment construire une telle décomposition pour une 3-variété quelconque, et finalement on présentera le résultat de correspondance de Giroux.

Dans cet exposé, on étudiera le problème de Riemann pour un système d'E.D.P. barotrope, dit p-système, avec une loi de pression p contenant le comportement thermodynamique du fluide. Dans un premier temps , on détaillera la résolution dans le cas où la pression est une fonction du volume strictement convexe. Ensuite, on abordera le problème avec une loi de pression convexe admettant une zone constante et permettant la transition entre les états liquides et vapeurs. Notamment, dans ce cas on travaillera avec une loi issue de l'équation d'état de Van der Waals et avec la loi de Maxwell.

Nous étudions le modèle de régression linéaire dans le cas où les erreurs sont dépendantes entre elles, et forment donc un processus stationnaire. Le but est de retrouver des résultats similaires au cas classique et bien connu où les erreurs sont i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées). On utilise pour cela un résultat de Hannan (1973) qui a prouvé un Théorème Limite Central pour l'estimateur des moindres carrés usuel sous des conditions très souples sur le processus des erreurs et sur le design. Avec ce théorème, on montre que, pour une grande classe de designs, la matrice de covariance asymptotique est très similaire au cas i.i.d.. De ce fait, nous estimons cette matrice de covariance en utilisant un estimateur de la densité spectrale dont la consistance est prouvée sous de faibles conditions. Afin d'appliquer ces résultats, nous montrons comment modifier les tests de Fischer usuels dans ce contexte dépendant et nous illustrons la performance de cette procédure grâce à des simulations.

C'est en 1958 que René Thom posa la question fatidique: "Peut-on munir n'importe quelle variété compacte lisse d'une métrique riemannienne mieux que les autres ?". Après avoir défini ce que l'on entend par une métrique riemannienne sur une variété, on se demandera ce qu'on entend au juste par "mieux que les autres". Cela nous amènera à parler de courbure, ou plutôt de courbures: qu'est-ce que la courbure d'une courbe ? D'une surface dans R^3 ? Comment généraliser aux dimensions supérieures ? SI le temps le permet, je parlerai du cadre plus spécifique dans lequel je travaille, celui des métriques de Kähler, et les questions liées aux métriques canoniques dans ce contexte.

La formule de Green-Kubo exprime les courants de chaleur provoqués par une légère perturbation d'un équilibre thermique, en terme de corrélation entre les flux de chaleurs des sources chaudes et froides. Elle s'inscrit dans le cadre plus général de la réponse linéaire des courants d'énergie (relations de réciprocité d'Onsager et théorème de limite centrale) et des théorèmes de fluctuations de l'entropie (symétrie d'Evans-Searles et grandes déviations). Les systèmes en interactions répétées (SIR) sont un ensemble de modèles de physique quantique inspirés de l'expérience du One-Atom Maser : un faisceau d'atomes traverse une cavité électromagnétique. Dans cet exposé, on suppose que les atomes arrivent à des températures distinctes T1, T2, ..., Tm, de façon cyclique. On souhaite alors remontrer la formule de Green-Kubo dans une version adaptée à la dynamique discrète des SIR.

Colorions les entiers (disons relatifs) en bleu, vert, rouge. Quels sont les motifs que l'on peut observer dans cette suite ? Difficile de répondre à cette question, elle est assez large pour y faire rentrer des pans entiers de mathématiques contemporaines. Ça en fait un bon point de départ pour un séminaire, non ?

Je n'aurai malheureusement pas le temps d'exposer tous ces aspects ; je me concentrerai sur les résultats issus de la théorie des systèmes dynamiques (je vous encourage à aller regarder vous-même du côté de la théorie ergodique), et prouverai entre autres le théorème de Van der Waerden : pour tout coloriage avec un nombre fini de couleurs, il existe au moins une couleur contenant des suites arithmétiques arbitrairement longues. Ce résultat sympathique mais qui ne paie pas de mine est à la base du théorème de Green-Tao [2004] : les entiers premiers contiennent des suites arithmétiques arbitrairement longues. Et ça mes amis, c'est ce que l'on appelle de belles mathématiques.

Lorsqu'on prend une suite de variables aléatoires (Xn)n≥1 i.i.d de loi μ sur SL(n,R), on peut s'intéresser aux produits de ces matrices.

On prend μ une mesure de probabilité à support fini et on étudie l'asymptotique des produits Xn...X1 et X1...Xn d'abord dans le cas où le support de la mesure est commutatif. Dans le cas non commutatif on introduit les exposants de Lyapunov par une sorte de loi des grands nombre sur ces produits ainsi que plusieurs théorèmes limites dûs à Furstenberg-Kesten, Guivarc'h-Raugi. Un des objets limites associé est ce qu'on appelle la matrice de Lyapunov.

Une des questions que je pose est la suivante : où peut-on "trouver" ces moyennes de Lyapunov lorsqu'on fait varier le support de la mesure μ dans un sous-groupe Γ ?

Il est connu qu'un polynôme générique de degré d possède d racines complexes. Si le polynôme est réel, le nombre de racines réelles dépend fortement des coefficients. Je vais expliquer comment calculer la moyenne du nombre de racine réel d'un polynôme aléatoire à l'aide de la géométrie complexe et de la géométrie intégrale. Plus généralement, je vais introduire quelques problèmes typiques en géométrie réelle aléatoire.

J'introduirai la définition d'un système (dynamique) contrôlé. Je m'intéresserai à une question centrale : la notion de contrôlabilité. Dans un premier temps, nous aborderons le cas de la dimension finie (c'est à dire des équations différentielles linéaires ou non linéaires), de quels résultats nous disposons. Je m'attarderai sur certains concepts clefs qu'on pourra transposer en dimension infinie : la méthode HUM ou le linear test. Nous attaquerons ensuite le cas du contrôle de l'équation de la chaleur, des systèmes linéaires d'EDP paraboliques. Après avoir fait un bref rappel de modélisation, nous aborderons les systèmes de réaction diffusion issus de réactions chimiques. De toutes les méthodes précédemment vues, nous verrons les résultats qu'on peut établir sur ces systèmes, les principales difficultés qui apparaissent et quelques problèmes ouverts.