Séminaire des doctorants (archives)

Un coloriage d'un graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux coloriages de certains graphes infinis qui apparaissent naturellement lorsqu'un groupe dénombrable agit sur un espace. Par exemple, on peut penser au graphe construit à partir d'une « rotation irrationnelle » sur le cercle. Ici, le groupe des entiers relatifs agit sur le cercle, et induit un graphe : on relie deux points du cercle par une arête exactement lorsque la rotation irrationnelle envoie l'un des points sur l'autre. On peut alors se demander quelles informations l'on obtient sur le groupe en s'intéressant aux coloriages des graphes qu'il induit.

En me basant sur des travaux de Conley et Kechris, j'introduirai plusieurs invariants combinatoires (nombre d'indépendance, nombre chromatique) dans ce contexte, qui permettent de déduire des informations des graphes vers les groupes, et vice-versa.

Le processus appelé billard stochastique peut être décrit de la manière suivante: une particule se déplace à vitesse unitaire à l'intérieur d'un ensemble K jusqu'à ce qu'elle touche le bord de K, et est alors réfléchie de manière aléatoire, indépendamment de sa position et de sa vitesse précédente. Nous nous concentrons sur les convexes dans R^2 avec une courbure majorée et minorée. Notre but est de donner une estimation de la vitesse de convergence à l'équilibre du processus, ainsi que de la chaîne incluse des positions de rebond. Pour cela, nous allons utiliser une méthode de couplage.

Nonlinear Schrodinger equation (NLS) is in the following form: $$i\frac{du}{dt}=-\Delta_x u + |u|^2u,$$, where $x$ lies in the torus $\mathbb{T}^d$, and $t\in \mathbb{R}$. We are going to study the behavior of the solution $u(t,x)$ ( corresponding to initial value $u(0,x)$). By applying Birkhoff normal forms, we see that in the one dimensional context, all solutions are linear stable. However, in higher dimensions , the answer is not that simple. I will introduce some recent important results, and explain the main idea in each case.

La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types). Autrement dit, lors de la reproduction cellulaire, on autorise l'apparition d'un nombre fini $d$ de mutations. On obtient alors un nouveau type de cellule. Nous définirons le codage de Lukasiewich-Harris pour de tels processus, c'est-à-dire que nous verrons comment coder notre processus à l'aide d'une matrice de marche aléatoire. Nous nous intéresserons ensuite au théorème du ballot, dans ce cas. Suivant le temps dont nous disposerons, nous essaierons de le montrer dans le cas $d=1$.

Toute surface différentielle peut être "habillée" par différentes structures géométriques sympathiques, par exemple une métrique riemannienne à courbure constante pour n'en citer qu'une. L'existence d'une structure de ce type pour toute surface (qui découle d'un résultat profond, le théorème d'uniformisation de Poincaré-Riemann) permet de les étudier à l'aide de la géométrie. Ce point de vue peut sembler anachronique puisque l'on connaît la classification topologique des surfaces sans avoir besoin de structures géométriques, mais cette "géométrisation" est cependant très utile à l'étude des surfaces. Dans cet exposé, je présenterai un exemple simple où l'on utilise la géométrie, non plus pour étudier les surfaces d'un point de vue topologique, mais pour classifier un certain type de systèmes dynamiques sur les surfaces. J'expliquerai ce qu'est un difféomorphisme Anosov, qui consiste à prescrire un comportement infinitésimal hyperbolique, et je me concentrerai sur un exemple particulier et tout à fait accessible : la transformation induite sur le tore T2 par une matrice inversible à coefficients entiers, et sans valeurs propres de module 1. L'objectif de l'exposé sera de comprendre pourquoi (sous deux petites hypothèses que nous préciserons) tout difféomorphisme Anosov sur une surface est en fait équivalent à l'exemple exposé plus haut. Pour faire cela, nous utiliserons une métrique lorentzienne préservée par le difféomorphisme étudié. Cette belle preuve (cas particulier d'un résultat beaucoup plus général) est tirée d'un travail de André Avez.

Dans cet exposé, on s’intéresse à la modélisation du changement de phase liquide-vapeur avec la prise en compte des états métastables contenus dans la loi de van der Waals. Un état métastable correspond à un état gazeux (resp. liquide) qui, après une légère perturbation, passe à l’état liquide (resp. gazeux) brutalement. Dans un premier temps, on présente les propriétés de la loi d’état de van der Waals dans ses représentations isotherme et non-isotherme. Puis on aborde l’étude d’un problème d’optimisation sous contraintes, ce qui nous permet de caractériser les états d’équilibre thermodynamique et le nombre de phases maximale qui peuvent coexister à l’équilibre thermodynamique. Ensuite, on construit des systèmes dynamiques dans le cas isotherme et non isotherme à travers lesquels l'énergie du mélange soit dissipée en temps et dont les équilibres coïncident avec l’équilibre thermodynamique. Ceux sont les états liquide et vapeur stables, métastables et l’état de coexistence. Enfin, on couple les systèmes dynamiques construits précédemment des systèmes hyperboliques diphasiques compressibles isotherme et non-isotherme.

À la croisée de la théorie de la mesure et de la géométrie, l’inégalité de Pólya–Szegő affirme que l’énergie des fonctions de Sobolev est décroissante pour le réarrangement symétrique décroissant. Cette inégalité, en lien avec l’inégalité isopérimétrique (et donc l’inégalité arithmético-géométrique), a notamment permis d’expliciter des maximiseurs dans l’inégalité de Sobolev. Je sais, ça fait beaucoup d’inégalités, mais j’introduirai toutes les notions nécessaires, et j’apporterai des preuves (élémentaires !) des résultats.

On s'intéressera au groupe fondamental d'une variété et à certaines généralisations. Un outil fondamental pour le calcul de cet invariant est le théorème de van Kampen, qui permet de déterminer $\pi1(U \cup V)$ à partir de $\pi1(U)$ et $\pi1(V)$, si $U\cap V$ est connexe. Mais cela ne s'applique pas au cercle, et l'on passe habituellement par les revêtements pour montrer que $\pi1(S^1) =\mathbb{Z}$. Dans cet exposé je présenterai une preuve alternative de ce résultat à l'aide des groupoïdes, qui sont des catégories représentant des "groupes fondamentaux avec plusieurs points de base". On prouvera ainsi un théorème de van Kampen sur les groupoïdes, et si le temps le permet on évoquera les généralisations en plus grand degré.

Cet exposé porte sur des discrétisations particulières des équations de Saint-Venant avec terme source de friction. Dans une première partie je présenterai le problème homogène ainsi que le problème de Riemann associé pour lequel on discutera de l'admissibilité des solutions faibles. Ensuite je présenterai un schéma développé de façon à préserver une certaine asymptotique. Cette dernière correspond aux solutions du problème dans le régime du temps long et de la friction dominante. Cette méthode, proposé par Berthon et Turpault, est usuellement utilisée dans le cas d'un terme source linéaire en la vitesse. Ici il est quadratique, c'est pourquoi l'extension proposée est loin d'être triviale. Pour finir, et si le temps le permet, je vous présenterai un second schéma construit, lui, pour préserver les états stationnaires (on dira qu'il est well-balanced). On montrera alors que ce schéma, correspondant à celui proposé par Victor Michel-Dansac (avec une modification ne perturbant pas le caractère well-balanced), préserve également l'asymptotique.

Une carte planaire c'est un graphe planaire muni de son dessin dans le plan. On peut aussi le voir comme une surface topologique discrète. Une manière de construire une géométrie 2-dimensionnelle aléatoire est de l'approximer par une grande carte planaire tirée au hasard. Je donnerai des résultats classiques sur les limites de cartes et parlerai des outils combinatoires et de processus stochastiques utilisés dans la théorie.