Séminaire des doctorants (archives)

Dans un corps fini à p éléments il y a (p-1)/2 carrés non nuls. On peut se demander combien il existe d'éléments x tels que x et x+1 sont des carrés ou plus généralement tels que x, x+1, ..., x+r sont des carrés. Nous essaierons de donner une réponse dans certains cas à l'aide de méthodes combinatoires élémentaires. En le considérant sous un nouvel angle ce problème sera l'occasion d'introduire les courbes algébriques sur les corps finis.

La théorie de l'homogénéisation est une branche de l'analyse mathématique qui traite le comportement asymptotique d'opérateurs différentiels aux coefficients oscillants rapidement. Le but est décrire le comportement macroscopique d'un système qui est hétérogène à l'échelle microscopique. Dans un premier temps, on donne quelques rappels sur les espaces de Sobolev périodiques et quelques résultats classiques dans la théorie des équations elliptiques. Ensuite, on introduit la méthode multi-échelle qui est basée sur un développement asymptotique particulière de la solution. Finalement, on détaille une deuxième méthode d'homogénéisation dite "méthode de convergence à deux échelles". Cette dernière permet à la fois d'expliciter le modèle homogénéisé et de prouver la convergence de la solution non homogénéisée vers celle homogénéisée.

Ce sera plutôt une présentation du contexte et de méthodes, mais je pense que j'aurais le temps de présenter les idées importantes des preuves de certains résultats.

Dans mon exposé, on va parler du logiciel FULLSWOF, qui permet de faire des simulations numériques sur les écoulements d'eaux en surface peu profond à travers l'équation de Saint-Venant. Ensuite vous présenter, deux nouveaux schémas numériques que j'ai implémenté dans ce logiciel.

Un groupe de Baumslag-Solitar est un groupe à deux générateurs et une relation dont certaines propriétés peuvent être déduites en étudiant son action sur un espace géométrique. Je présenterai un moyen de construire un arbre sur lequel BS(p,q) agit et montrerai comment utiliser cette action pour prouver que ce groupe ne contient pas Z^3.

Lorsque qu’on s’intéresse à la résolution numérique du problème des vagues, on remarque que se donnant une subdivision du temps de résolution, il est nécessaire de résoudre un problème de Laplace différent pour chaque pas de temps. Considéré tel quel, ceci est extrêmement coûteux. Dans cet exposé, je vous présenterai une manière d’obtenir une méthode de résolution numérique efficace, reposant sur le redressement du domaine de résolution, via des transformations conformes.

La fonction Delta de Hooley est une fonction arithmétique qui mesure la concentration logarithmique des diviseurs d'un entier donné, nous verrons dans un premier temps quelques propriétés concernant cette fonction, ainsi que quelques applications associées; puis, nous nous intéresserons à ce qui se passe lorsque l'on "tord" cette fonction par un caractère de Dirichlet non trivial.

Dans un corps ordonné (typiquement Q ou R), un élement est positif si et seulement si il est somme de carrés. Pour un anneau ordonné (typiquement un anneau de fonctions sur un corps ordonné) il existe des élements positifs qui ne sont pas somme de carrrés. Ce lien entre positivité et somme de carrés, introduit par le 17e problème de Hilbert, est au cœur de la géométrie algébrique réelle. Nous en explorerons les fondements pour aboutir aux théorèmes de Schmüdgen et Putinar, qui donnent des conditions suffisantes pour que des fonctions soient écrivables comme somme de carrés.

La topologie des courbes complexes compactes (dimension réelle 2) est bien comprise : depuis Riemann, on sait que la topologie d'une telle courbe est décrite par un entier naturel : son genre. Mais les choses se compliquent lorsqu'on cherche à comprendre la topologie des surfaces complexes (dimension réelle 4). Dans cet exposé je présenterai un outil important utilisé par Poincaré pour étudier la topologie des surfaces algébriques complexes : les pinceaux (et les fibrations) de Lefschetz.

In this talk, I give a formula for counting complex rational curves passing through certain configuration of points on the 3- dimensional projective space $\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1$ by using the counting on the 2-dimensional projective space $\mathbb{C}P^1\times\mathbb{C}P^1$ blowing-up at 2 points. That gives rise to the fancy formula for Gromov-Witten (GW) invariants in the Fano threefolds of index 2 with related to the GW invariants in one specific type of surfaces which realise one half of their first Chern class.