Séminaire des doctorants (archives)

Les noeuds (mathématiques) sont des objets topologiques souvent présentés comme étant extrêmement souples et un des problèmes est de réussir à en faire la liste (infinie). Dans cet exposé, je présenterais une vision beaucoup plus rigide et combinatoire des noeuds afin d'implémenter un algorithme permettant la génération (et la classification) des noeuds.

Un problème inverse consiste à remonter aux causes partant des effets. Nous donnerons deux exemples de tels problèmes (ainsi que des phénomènes qu'ils modélisent) : celui de Sturm-Liouville et celui de Calderón. Dans une dernière partie, nous examinerons le lien qui existe entre les deux, et comment la résolution du premier peut aboutir à celle du second.

L'équation différentielle $y'(z)=\frac{1/2}{z} y(z)$ a pour solution la fonction $z^{1/2}$. Lorsque l'on tente de définir cette expression comme une fonction sur $\mathbb{C}$, on doit se resteindre à un sous-ensemble simplement connexe ne contenant pas le point $0$ : on est face à un problème de monodromie.

La correspondance de Riemann--Hilbert nous dit qu'il existe un seul système différentiel singulier régulier dont les solutions vérifie une certaine donnée de monodromie.

Le but de cet exposé est de motiver cette correspondance puis d'expliquer comment en déduire le théorème de Birkhoff--Grothendieck sur la structure des fibrés vectoriels sur la sphère de Riemann.

Un chromosome est composé de deux brins d'ADN accrochés entre eux, formant la structure de double-hélice bien connue. Lorsque l'on augmente la température, les deux brins se détachent partiellement (voire complètement) l'un de l'autre, phénomène que l'on appelle la "dénaturation" de l'ADN. Le modèle de Poland-Scheraga introduit dans les années 70 permet de modéliser mathématiquement ce phénomène, et a même été étendu pour étudier des systèmes d'accrochage de polymères dans une plus grande généralité. L'objectif de cet exposé est d'étudier précisément ce phénomène de dénaturation de l'ADN, pour par exemple obtenir des propriétés macroscopiques du système à partir de cette modélisation.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur la décroissance exponentielle du semi-groupe associé à l’opérateur de Fokker-Planck avec un champ magnétique extérieur, dans des espaces de Banach avec un poids polynomial. J’introduirai d’abord la méthode d’hypocoercivité avec un poids exponentiel, puis j’expliquerai la théorie d’élargissement d’espace de Banach.

La topologie des variétés réelles est un domaine très intéressant qui a connu un essor considérable, surtout depuis les années 70. Dans cet exposée, je présenterai beaucoup d'exemples pour comprendre une des façons d'étudier cette branche des mathématiques. Si le temps le permet, je voudrais aussi présenter l'idée derrière mon projet de thèse.

Un coloriage d'un graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets reliés par une arête soient de couleurs différentes. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux coloriages de certains graphes infinis qui apparaissent naturellement lorsqu'un groupe dénombrable agit sur un espace. Par exemple, on peut penser au graphe construit à partir d'une « rotation irrationnelle » sur le cercle. Ici, le groupe des entiers relatifs agit sur le cercle, et induit un graphe : on relie deux points du cercle par une arête exactement lorsque la rotation irrationnelle envoie l'un des points sur l'autre. On peut alors se demander quelles informations l'on obtient sur le groupe en s'intéressant aux coloriages des graphes qu'il induit.

En me basant sur des travaux de Conley et Kechris, j'introduirai plusieurs invariants combinatoires (nombre d'indépendance, nombre chromatique) dans ce contexte, qui permettent de déduire des informations des graphes vers les groupes, et vice-versa.

Le processus appelé billard stochastique peut être décrit de la manière suivante: une particule se déplace à vitesse unitaire à l'intérieur d'un ensemble K jusqu'à ce qu'elle touche le bord de K, et est alors réfléchie de manière aléatoire, indépendamment de sa position et de sa vitesse précédente. Nous nous concentrons sur les convexes dans R^2 avec une courbure majorée et minorée. Notre but est de donner une estimation de la vitesse de convergence à l'équilibre du processus, ainsi que de la chaîne incluse des positions de rebond. Pour cela, nous allons utiliser une méthode de couplage.

Nonlinear Schrodinger equation (NLS) is in the following form: $$i\frac{du}{dt}=-\Delta_x u + |u|^2u,$$, where $x$ lies in the torus $\mathbb{T}^d$, and $t\in \mathbb{R}$. We are going to study the behavior of the solution $u(t,x)$ ( corresponding to initial value $u(0,x)$). By applying Birkhoff normal forms, we see that in the one dimensional context, all solutions are linear stable. However, in higher dimensions , the answer is not that simple. I will introduce some recent important results, and explain the main idea in each case.

La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types). Autrement dit, lors de la reproduction cellulaire, on autorise l'apparition d'un nombre fini $d$ de mutations. On obtient alors un nouveau type de cellule. Nous définirons le codage de Lukasiewich-Harris pour de tels processus, c'est-à-dire que nous verrons comment coder notre processus à l'aide d'une matrice de marche aléatoire. Nous nous intéresserons ensuite au théorème du ballot, dans ce cas. Suivant le temps dont nous disposerons, nous essaierons de le montrer dans le cas $d=1$.