Séminaire des doctorants (archives)

The Zakarov system is a simplified model for the description of long-wavelength small-amplitude Langmuir oscillation in a ionized plasma. Langmuir waves are rapid oscillations of the electron density. In our case we study a stochastic version of the Sakharov system, which means a Zakharov system perturbed by a sochastic noise. In this talk, I will try to explain the general study plan for a Partial Differential Equation (PDE), then I will introduce some stochastic tools to show how it is possible to gather deterministic and stochastic theories to solve our problem.

Un problème de contrôle optimal est associé à un système dynamique de la forme y'=f(y,a), où le paramètre a est un contrôle fixé par l'opérateur et à un coût que l'on cherche à minimiser. L'approche de Bellman consiste à étudier la fonction valeur du problème. Celle-ci est solution de viscosité d'une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Depuis 2013, une théorie des équations de H-J posées sur un réseau a été développée (Achdou-Camilli-Cutri-Tchou et Imbert-Monneau-Zidani), associées justement à un système dynamique évoluant sur cette structure. Dans cet exposé je parlerai de la théorie des solutions de viscosité et des équations de Hamilton Jacobi, et je présenterai le travail que j'effectue en thèse, qui consiste à essayer d'approcher un problème de contrôle sur le réseau à partir d'une suite de problèmes de contrôles posés sur tout l'espace. Plus précisément, on démarre d'un système dynamique contrôlé dans tout le plan auquel on ajoute un terme de pénalisation pour ramener les solutions vers un réseau du plan et on cherche le problème limite qui devrait être un problème de contrôle posé sur le réseau.

Le but de cette présentation est de donner une catégorification du polynôme de Jones en partant des bases de la théorie des noeuds. Cette catégorification, l'homologie de Khovanov, est un invariant puissant pour les nœuds et entrelacs.

Projective geometry was mainly developed in the 19th century and its combination with algebraic geometry made projective algebraic geometry an important breakthrough in mathematics. In the first part, I will present real projective geometry with some concrete examples. In the second part, I will refer to real enumerative problems, concerning with counting numbers of signed curves in certain real projective spaces, known as Welschinger's invariants.

Les processus de Hawkes sont des processus stochastiques étudiés à partir des années 70. Même si à l’origine, ils pouvaient être appliqués à l’étude des séismes, ils trouvent maintenant de nombreux domaines d’application en neuroscience, en finance, etc. Une partie de ces processus, appelée « processus de Hawkes auto-excitants » a été particulièrement étudiée ces dernières décennies, et de nombreux résultats sont connus. Mon travail consiste à étudier d’autres processus de Hawkes, dits auto-inhibants, et de montrer certains résultats, comme une loi des grands nombres, un théorème central limite et un principe de grandes déviations. Ici, je me concentrerai sur la construction des processus de Hawkes et sur la loi des grands nombres.

In this talk we will present motives, techniques and results of a community that has emerged in the 1980s. Econophysicists, as they describe themselves, try to fill the gap between micro and macro economics using techniques from statistical physics. After presenting the techniques used in the community, we will illustrate how their models fit the real world.

Le but de l'exposé est d'expliquer comment change le nombre de solutions x à l'équation f(x)=y lorsque la valeur régulière y (ou l'application propre f) varie.

A classic problem in statistics is to test whether two populations of observations are similar (i.e. equally distributed). The first tests developed were parametric, it means that we had to make strong assumptions on the underlying distribution, typically Gaussian assumptions. They were also not well-defined for high-dimension (when the number of features exceeds the number of observations). Recently, non-parametric two-sample tests especially designed for high-dimension were developed. I will present a group of such tests very popular in the machine learning community, which takes roots in kernel methods, a branch of non-linear statistics

Dans cet exposé on commence par présenter la formule de la co-aire, qui relie l'intégrale d'une fonction de R^d dans R a la mesure d-1 dimensionnelle de ses zéros. On fera la preuve très simple en dimension 1. Si f est un processus stochastique gaussien stationnaire, alors le passage à l'espérance nous permet de montrer la formule de Katz-Rice, qui donne le nombre moyen de zéro (ou le volume moyen des zéros en dimension supérieure) d'un tel processus.

Nous choisirons ensuite un processus particulier, plus précisément une somme Gaussienne de fonctions propres. En dimension 1, on retrouve la théorie des polynômes trigonométriques aléatoires. On en déduira une asymptotique en loi du volume des zéros, puis on donnera un regard plus approfondi en observant que ce processus converge localement vers un processus limite.

Dans cette thèse, on étudie le comportement en temps grand des solutions de l'équation de Schrödinger avec potentiels à valeurs complexes. Dans la première partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance rapide. On établit les développements de la résolvante au seuil et près des résonances positives. On obtient, sous différentes conditions, les développements en temps grand des solutions en supposant l'existence de résonances positives et d'une résonance et / ou une valeur propre au seuil zéro. Dans la deuxième partie, on s'intéresse aux potentiels à décroissance lente. On établit des estimations de Gevrey de la résolvante aussi que les développements en temps grand des semi-groupes de Schrödinger et de la chaleur avec des estimations sous-exponentielles en temps sur le reste. Ces derniers résultats généralisent les résultats de X. P. Wang au cas où le potentiel vérifie une condition de Viriel au voisinage de l'infini. Ainsi, nos résultats dans les deux parties couvrent le cas d'une valeur propre zéro de multiplicité géométrique quelconque.