Séminaire des doctorants (archives)

En 1986, Gromov fait paraître son livre "Partial differential relations", dans lequel il développe une méthode très générale pour résoudre des "relations" aux dérivées partielles (équations mais aussi inéquations). Le but de cet exposé est d'introduire ces idées via le théorème de Whitney-Graustein (prouvé par Whitney en 1937), qui classifie les immersions du cercle dans le plan et qui est sans doute l'exemple le plus simple d'application du h-principe.

Dans sa thèse soutenue en 1951, Kenneth Arrow, généralisa le paradoxe soulevé deux siècle auparavant par Nicolas de Condorcet. Il y démontra l’impossibilité d'agréger un ensemble de préférences individuelles en une préférence collective en respectant quatre conditions pourtant souhaitables : l’universalité, la non-dictature, l’unanimité et l’indépendance aux alternatives non pertinentes. Quelques vingt ans après, le Philosophe Allan Gibbard et l’économiste Mark Satterthwaite démontrèrent indépendamment des résultats analogues. Nous verrons dans cet exposé ces théorèmes comme corollaires d’un théorème plus général du à Ning Neil Yu publié en 2012. Nous parlerons ensuite des limites imposées par le modèle d’Arrow et si le temps le permet, des modes de scrutin alternatifs, en particulier celui du jugement majoritaire développé par les deux chercheurs français Michel Balinski et Rida Laraki.

Simultanément avec la formalisation du concept de variétés différentielles, est démontré le théorème de plongement de Whitney. Bien que le cas isométrique C^1 résistait aux tentatives de démonstration il était sûr que celui-ci serait proche de ses prédécesseurs. Il fallut attendre que ce problème attire l'attention de John Nash avant que la réponse ne soit donnée, celle-ci intrigua alors bon nombre de mathématiciens, dont Mikhaïl Gromov qui s'en inspira pour construire la théorie du h-principe. Des années plus tard, un groupe de mathématiciens font une avancée supplémentaire et obtiennent des images renversantes du théorème de Nash-Kuiper. Après une introduction historique, nous essaierons dans un temps limité de donner une brève démonstration de ce théorème en omettant au mieux les notions de variétés afin de le rendre plus accessible. Ensuite nous donnerons la possibilité aux participants de s'émerveiller devant la beauté des résultats combinés sur plusieurs décennies, puis en fonction du temps restant nous introduirons rapidement quelques bases du h-principe.

Many mathematical models are non-deterministic: it means that for several runs of the model with the same input values do not lead to the same output. In this framework, a natural indicator about the performance of the model for certain input values is the expectation of its associated ouputs. From an optimization point of view, it can be interesting to find the input values associated with the highest ouput mean. This presentation is about a state of the art to address optimization problems in this framework. We focus particularly on discrete optimization, i.e. when the set of input values is finite.

Cette thèse est dédiée à l'étude de l'équation cinétique de Fokker-Planck en présence d'un champ magnétique externe et fort. Premièrement, nous montrons le retour exponentiel à l'équilibre des solutions de cette équation dans des espaces de type $L^p$ et des espaces de Sobolev à poids polynomial non-classique. Deuxièmement, nous nous intéressons à une estimation de type maximal sur l'opérateur associé. Cette estimation permet de donner une meilleure caractérisation du domaine de la fermeture de l'opérateur considéré. Finalement, nous étudions l'opérateur quadratique de Fokker-Planck électro-magnétique. Nous calculons explicitement la norme du semi-groupe associé à l'opérateur considéré. Nous montrons des estimations explicites et précises de cette norme en temps petit et long ainsi que des estimations uniformes en temps lorsque le paramètre magnétique tend vers l'infini.

Cette thèse étudie les caractères modulaires de trois familles de groupes : les groupes symétriques, les produits en couronne avec un groupe fini et les groupes linéaires finis. On s'intéresse plus particulièrement à la structure multiplicative des groupes de Grothendieck des modules projectifs. Dans les cas des groupes symétriques et des produits en couronne, on obtient que ce sont des anneaux polynomiaux. Un résultat similaire a été conjecturé par Carlisle et Kuhn pour les groupes linéaires en caractéristique naturelle. On obtient une forme plus faible donnant la polynomialité sur les rationnels avec des générateurs décrits par les caractères de Deligne-Lusztig. On montre diverses applications de ce résultat en théorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod.

Un problème inverse consiste à remonter aux causes partant des effets. Dans une première partie, à partir du problème inverse de Calderόn, nous expliquerons de manière générale en quoi peut consister en mathématiques la résolution d'un tel problème. Dans un second temps, nous exposerons dans les grandes lignes la preuve de sa résolution par Ulhmann et Sylvester en 1987 dans le cas isotrope et en dimension supérieure ou égale à trois.

Un grand nombre de processus aléatoires peuvent être modélisés par des Chaînes de Markov. Un des intérêts de ces Chaînes est que leur comportement limite (c'est-à-dire en temps long) est assez simple à déterminer. L'objectif de cet exposé (qui se veut non-technique et accessible à tou-te-s) sera d'énoncer un théorème limite sur les Chaînes de Markov, et d'étudier quelques exemples simples comme des marches aléatoires sur des graphes, ou bien un procédé de mélange d'un jeu de cartes.

On commencera par expliquer ce qu'est une forme normale de Birkhoff, pour des équations Hamiltoniennes en dynamique classique. En un mot, il s'agit de construire un bon changement de variable, qui rende l'équation plus simple. Ensuite, on verra comment adapter cette méthode dans un cadre semiclassique : Sjostrand a introduit une forme normale de Birkhoff pour un opérateur de Schrödinger. Ceci permet de voir l'opérateur comme une simple fonction d'un oscillateur harmonique, et d'en déduire une approximation de ses valeurs propres dans la limite semiclassique. Enfin, on utilisera les mêmes techniques pour construire des formes normales pour le Laplacien magnétique.

Une structure de contact sur une variété V de dimension 2n+1 est un champ d'hyperplans maximalement non-intégrable L=ker A, où A est une 1-forme telle que A∧(dA)^n>0. L'homologie de contact de la paire (V,L) est un invariant qui peut être grossièrement interprété comme l'homologie de Morse de l'espace des lacets lisses C(S^1,V), cependant son calcul est en général difficile. Après une bref exposition de ces théories (et en fonction du temps disponible), on montrera un résultat de Colin, Ghiggini et Honda qui permet de simplifier la situation lorsqu'une 3-variété est présentée comme un livre ouvert : [CGH] Soit S une surface orientable, de bord non vide, et H un difféomorphisme de S préservant le bord. Si V = (S^1 x D^2) ∪ ([0,1]xS / (0,x)~(1,H(x)) est munie d'une structure de contact adaptée, alors l'homologie de contact de (V,L) est isomorphe à celle du tore de suspension [0,1]xS / (0,x)~(1,H(x)).