Séminaire des doctorants (archives)

Au cours de cet exposé on présentera les ensembles simpliciaux et dendroidaux. Ce sera le prétexte idéal pour faire passer de la théorie des catégories en contrebande. On s'attachera ensuite à montrer comment les utiliser pour formaliser des notions de structures à homotopie près, la rencontre entre l'algèbre et la topologie. Cet exposé sera truffé de dessins et s'efforcera de faire passer les intuitions derrière l' "absurdité abstraite".

On va s'intéresser au théorème de Perron-Frobenius qui énonce notamment qu'une matrice positive fortement irréductible a une valeur propre dominante. Après quelques explications sur ce théorème et quelques exemples d'applications à de (nombreux !) domaines des mathématiques, on abordera une preuve due à Garrett Birkhoff. Cette preuve exhibe le vecteur propre de la valeur propre dominante comme point fixe d'une application contractante pour la métrique de Hilbert, que l'on introduira à l'occasion. L'étude de cette métrique fait appel à des propriétés de géométrie élémentaire. On parlera éventuellement plus généralement de métriques projectives et de la pertinence du choix de la métrique de Hilbert dans la preuve de Birkhoff. Enfin, on parlera éventuellement de la situation en dimension infinie.

Le but de cette thèse est de construire et analyser des schémas numériques capables de discrétiser les solutions de systèmes de lois de conservation hyperboliques avec terme source. La propriété principale recherchée dans ces travaux est la préservation de l’asymptotique, c’est-à-dire que les schémas développés doivent rester précis en régime de diffusion, à savoir en temps long et terme source raide. La première partie de cet exposé est consacré à la présentation d’un résultat de convergence numérique rigoureux pour un schéma discrétisant les solutions du p-système. Le taux de convergence ainsi obtenu est exprimé explicitement et est en accord avec les résultats déjà connus dans les cadres continu et semi-discret. La seconde partie de cet exposé est dédiée à la présentation de deux schémas préservant l’asymptotique pour les équations de Saint-Venant avec terme source de friction de Manning. La première méthode exposée constitue une généralisation du schéma HLL perturbé proposé par Berthon et Turpault afin de traiter les termes sources de forme quadratique tandis que la deuxième méthode de construction permet de préserver à la fois tous les états stationnaires et la limite de diffusion.

The bidomain and monodomain models are widely used models in simulating cardiac electrical activity. In this talk, we first briefly describe the unfolding homogenization approach to rigorously derive the bidomain equations from a microscopic model with tensorial and space dependent conductivities . Secondly, we present a positive nonlinear control volume finite element (CVFE) scheme, based on Godunov's flux approximation of the diffusion term, for the monodomain model coupled to a physiological ionic model (Beeler-Reuter model) and using an anisotropic diffusion tensor. In this scheme, degrees of freedom are assigned to vertices of a primal triangular mesh, as in finite element methods. The diffusion term which involves an anisotropic tensor is discretized on a dual mesh using the diffusion fluxes provided by the conforming finite element reconstruction on the primal mesh. The scheme ensures the validity of the discrete maximum principle without any restrictions on the transmissibility coefficients. The convergence of the scheme is proved using a compactness argument. Finally, the efficiency of the proposed scheme is illustrated by showing some numerical results.

Dans cet exposé, je souhaite d'abord introduire, à travers des exemples typiques et frappants, les notions de base et les premiers résultats en géométrie de contact de dimension trois, ce qui me permettra ensuite de motiver l'investigation de la topologie des nœuds legendriens. J'évoquerai en particulier certains résultats de rigidité qui distinguent la classification des nœuds legendriens de celles des nœuds topologiques. Enfin, selon le temps restant à ma disposition, j'expliquerai comment ces questions se généralisent aux dimensions impaires par l'étude des sous-variétés legendriennes des variétés de contact générales.

Standard numerical methods (such as finite elements) are efficient to solve PDEs in low dimension but intractable for high-dimensional problems. In order to overcome these limits, we propose an adaptive sparse approximation method based on a probabilistic interpretation of PDEs (using Feynman-Kac representation). Monte-Carlo methods are used to get noisy pointwise evaluations of the solution of a PDE and to construct an approximate interpolation of this solution. Here pointwise evaluations are obtained using a sequential control variates algorithm proposed by Gobet & Maire, where control variates are constructed from successive approximations of the solution of the PDE. Two different algorithms are proposed, combining adaptive sparse approximation and sequential control variates algorithm in two different ways. We will show different numerical examples to illustrate the behavior of the algorithms.

Dans un corps fini à p éléments il y a (p-1)/2 carrés non nuls. On peut se demander combien il existe d'éléments x tels que x et x+1 sont des carrés ou plus généralement tels que x, x+1, ..., x+r sont des carrés. Nous essaierons de donner une réponse dans certains cas à l'aide de méthodes combinatoires élémentaires. En le considérant sous un nouvel angle ce problème sera l'occasion d'introduire les courbes algébriques sur les corps finis.

La théorie de l'homogénéisation est une branche de l'analyse mathématique qui traite le comportement asymptotique d'opérateurs différentiels aux coefficients oscillants rapidement. Le but est décrire le comportement macroscopique d'un système qui est hétérogène à l'échelle microscopique. Dans un premier temps, on donne quelques rappels sur les espaces de Sobolev périodiques et quelques résultats classiques dans la théorie des équations elliptiques. Ensuite, on introduit la méthode multi-échelle qui est basée sur un développement asymptotique particulière de la solution. Finalement, on détaille une deuxième méthode d'homogénéisation dite "méthode de convergence à deux échelles". Cette dernière permet à la fois d'expliciter le modèle homogénéisé et de prouver la convergence de la solution non homogénéisée vers celle homogénéisée.

Ce sera plutôt une présentation du contexte et de méthodes, mais je pense que j'aurais le temps de présenter les idées importantes des preuves de certains résultats.

Dans mon exposé, on va parler du logiciel FULLSWOF, qui permet de faire des simulations numériques sur les écoulements d'eaux en surface peu profond à travers l'équation de Saint-Venant. Ensuite vous présenter, deux nouveaux schémas numériques que j'ai implémenté dans ce logiciel.