Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des questions du type "quelle est la probabilité qu'un entier naturel pris au hasard satisfasse une certaine propriété ?". Par exemple : est-il probable qu'un entier soit sans facteur carré ? Hélas, nous montrerons qu'il n'existe pas de mesure de probabilité sur les entiers qui permette de traiter ce type de questions en préservant l'intuition naturelle qui nous dit qu'un entier sur deux est pair, un entier sur trois est divisible par trois etc. Nous devons donc raisonner en terme de proportion d'entiers satisfaisant notre propriété parmi les N premiers entiers, puis laisser N tendre vers l'infini. Cependant, il ne faut pas croire que tout devient alors un problème de comptage suivi d'un équivalent asymptotique. Au contraire, cette approche donne naissance à des questions intéressantes d'un point de vue strictement probabiliste, et qui apparaissent très naturellement dans le contexte de ces problèmes.
On exposera en premier lieu la définition d’un schéma numérique quand l’Equation aux Dérivées Partielles à résoudre contient une condition de bord. Ensuite, on étudiera la stabilité de ce schéma, notion centrale dans l’analyse de convergence du schéma. Pour cela, on commencera par une première approche utilisant l’algèbre linéaire et l’étude des valeurs propres de la matrice représentant le schéma. Puis, dans une deuxième approche, on expliquera la théorie GKS qui étudie les valeurs spectrales d’un opérateur de dimension infinie. Enfin, on verra un outil numérique s’appuyant sur l’indice complexe d’une courbe algébrique qui permet de conclure sur la stabilité du schéma numérique.
Le système point vortex est un système d'EDO issu de la mécanique des fluides. Nous verrons comment le bord du domaine influe sur cette dynamique, et comment l'on peut exploiter les propriétés des fonctions de Green pour décrire le mouvement. En particulier, nous verrons que les collisions sont improbables dans les domaines à bord. La preuve mélange probabilités, équations elliptiques et transformations conformes.
En 1981, Polyakov dans un article fondateur propose une définition de la gravité quantique de Liouville qui peut se comprendre comme l'étude d'une notion de surface aléatoire. Cette théorie a connu de nombreux développements dans un premier temps dans la littérature physique mais aussi plus récemment au sein de la communauté mathématique, avec notamment des preuves rigoureuses de résultats prédits par la physique.
Dans cet exposé nous présenterons la formulation mathématique de la théorie de Liouville, basée sur une approche probabiliste, ainsi que les questions qui se posent dans l'étude de cette théorie. Nous évoquerons notamment les méthodes de théorie conforme des champs en dimension deux, et comment les appliquer à l'étude de la formulation mathématique de la théorie de Liouville.
Considering a Poisson process observed on a bounded, fixed interval, we are interested in the problem of detecting a transitory change in its distribution, characterised by a bump in its intensity. Formulated as an off-line change-point problem, this study aims at proposing a non-asymptotic minimax testing set-up to construct a minimax and adaptive detection procedure. In particular, we establish the minimax separation rates over various classes of alternatives, defined according to whether or not the jump position, length and/or size are known.
La dynamique hyperbolique s'intéresse à certains types de phénomènes chaotiques régis par des équations différentielle non-linéaires. Le point fort de ces dynamiques est l'existence d'outils puissants permettant d'analyser qualitativement la dynamique au voisinage des points d'équilibres du système.
Dans cet exposé, nous verrons un de ces outils, le théorème des variétés stables, ainsi que certaines de ses applications en analyse et en topologie.
The multilevel method is a class of algorithms that allowed the sampling probability distribution, these methods are based on (overdamped) Langevin approximation. The purpose is to sample an approximation of Bayesian estimator with a controlled cost, in particular with the dimension and the required precision. After an introduction of the statistical issues we will present multilevel methods for sampling a Gibbs measure and the complexity of these algorithms.
En dimension 1, il est facile de calculer le nombre d'entiers compris dans une boule centrée en 0 et de rayon arbitraire. En dimension supérieure, la tache se complique et rien que calculer les 2 premiers termes de l'asymptotique (du nombre de point à coordonnées entières compris dans une boule centrée en 0 et de rayon arbitrairement grand) n'est pas évident. Dans cet exposé, nous verrons comment l'analyse de Fourier permet de majorer le deuxième terme de ce développement asymptotique. Ceci est un résultat extrait des notes de Matthew Blair :
Bien que tout nombre complexe admette toujours au moins une racine carré, on sait qu’il est impossible de définir une fonction « racine carrée » qui soit continue sur C. Autrement dit, on ne peut pas trouver de fonction continue f telle que, pour tout z, f(z) est racine du polynôme t^2 - z = 0. Nous verrons que ce type de résultat se généralise dans le cadre des variétés algébriques affines complexes. Le but de cet exposé sera de présenter les bases de la géométrie algébrique avec, comme fil rouge, la démonstration de l’énoncé suivant :
Soit X une variété algébrique affine. On note X(C) l’ensemble algébrique associé à X dans C^n et C[X] l’anneau des fonctions polynomiales à valeur dans X(C). Soit f une fonction continue pour la topologie euclidienne sur X(C) telle qu’il existe un polynôme dans C[X][t] qui l’annule. Alors f est une fonction rationnelle.
