Séminaire des doctorants (archives)

Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes probabilistes très populaires pour faire de la simulation ou de l'approximation. Elles sont par exemple utilisées comme une alternative aux méthodes déterministes dans le cadre de l'intégration numérique, surtout pour des problèmes d'intégration en grande dimension. Elles reposent essentiellement sur la loi des grands nombres. Après avoir présenté le principe général de ces méthodes, je souhaite aborder trois techniques que l'on peut utiliser pour contrôler ou réduire l'erreur dans le cadre de l'approximation : la variable de contrôle, les variables antithétiques et l’échantillonnage préférentiel.

Many vector-borne diseases are affected by the seasonality of the environment. Yet, the influence of the periodic fluctuations of the environment on the persistence of pathogens remain unclear. We analyse a general vector-borne disease model and we show that whether seasonality has a positive or negative effect on pathogen persistence depends on which component of the pathogen's life-cycle is affected by these periodic fluctuations. We use a perturbation analysis framework to obtain useful approximations to evaluate the overall consequences of seasonality on the persistence of pathogens. These approximations allow us to better understand why seasonality in vector density or in the biting rate of the vector can have opposite effects on pathogen dynamics.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la contrôlabilité d’une équation de Schrödinger linéaire, en 1D, sur un intervalle borné, avec un contrôle bilinéaire. Plus précisément, on se demandera si cette équation de Schrödinger est contrôlable lorsque le système linéarisé n’est pas contrôlable et la question sera alors de savoir si le terme quadratique permet ou non de rattraper les directions perdues au premier ordre. Avant d'apporter des éléments de réponse à cette question, on commencera par présenter sur des exemples en dimension finie le lien entre contrôlabilité et crochets de Lie, afin d’introduire les phénomènes de dérive présents en dimension infinie.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des questions du type "quelle est la probabilité qu'un entier naturel pris au hasard satisfasse une certaine propriété ?". Par exemple : est-il probable qu'un entier soit sans facteur carré ? Hélas, nous montrerons qu'il n'existe pas de mesure de probabilité sur les entiers qui permette de traiter ce type de questions en préservant l'intuition naturelle qui nous dit qu'un entier sur deux est pair, un entier sur trois est divisible par trois etc. Nous devons donc raisonner en terme de proportion d'entiers satisfaisant notre propriété parmi les N premiers entiers, puis laisser N tendre vers l'infini. Cependant, il ne faut pas croire que tout devient alors un problème de comptage suivi d'un équivalent asymptotique. Au contraire, cette approche donne naissance à des questions intéressantes d'un point de vue strictement probabiliste, et qui apparaissent très naturellement dans le contexte de ces problèmes.

On exposera en premier lieu la définition d’un schéma numérique quand l’Equation aux Dérivées Partielles à résoudre contient une condition de bord. Ensuite, on étudiera la stabilité de ce schéma, notion centrale dans l’analyse de convergence du schéma. Pour cela, on commencera par une première approche utilisant l’algèbre linéaire et l’étude des valeurs propres de la matrice représentant le schéma. Puis, dans une deuxième approche, on expliquera la théorie GKS qui étudie les valeurs spectrales d’un opérateur de dimension infinie. Enfin, on verra un outil numérique s’appuyant sur l’indice complexe d’une courbe algébrique qui permet de conclure sur la stabilité du schéma numérique.

Le système point vortex est un système d'EDO issu de la mécanique des fluides. Nous verrons comment le bord du domaine influe sur cette dynamique, et comment l'on peut exploiter les propriétés des fonctions de Green pour décrire le mouvement. En particulier, nous verrons que les collisions sont improbables dans les domaines à bord. La preuve mélange probabilités, équations elliptiques et transformations conformes.

En 1981, Polyakov dans un article fondateur propose une définition de la gravité quantique de Liouville qui peut se comprendre comme l'étude d'une notion de surface aléatoire. Cette théorie a connu de nombreux développements dans un premier temps dans la littérature physique mais aussi plus récemment au sein de la communauté mathématique, avec notamment des preuves rigoureuses de résultats prédits par la physique.

Dans cet exposé nous présenterons la formulation mathématique de la théorie de Liouville, basée sur une approche probabiliste, ainsi que les questions qui se posent dans l'étude de cette théorie. Nous évoquerons notamment les méthodes de théorie conforme des champs en dimension deux, et comment les appliquer à l'étude de la formulation mathématique de la théorie de Liouville.

Considering a Poisson process observed on a bounded, fixed interval, we are interested in the problem of detecting a transitory change in its distribution, characterised by a bump in its intensity. Formulated as an off-line change-point problem, this study aims at proposing a non-asymptotic minimax testing set-up to construct a minimax and adaptive detection procedure. In particular, we establish the minimax separation rates over various classes of alternatives, defined according to whether or not the jump position, length and/or size are known.