Séminaire des doctorants (archives)

Résumé : Quelle est la longueur moyenne d'une corde du cercle unité ? Selon la méthode employée pour désigner une corde, on peut obtenir des réponses tout à fait différentes à cette question qui paraît pourtant simple. Ce phénomène, connu sous le nom de paradoxe de Bertrand, illustre le fait qu'il n'existe pas toujours de densité (ou mesure) canonique sur des ensembles d'objets géométriques, décourageant ainsi la recherche d'une réponse objective à cette question.

Cependant, selon le contexte dans lequel on étudie le problème, certaines densités peuvent avoir des propriétés d'uniformité qui les rendent préférables aux autres. La géométrie intégrale étudie ainsi les densités qui sont invariantes par des groupes de transformations agissant sur ces objets géométriques. Une fois ces mesures déterminées, on peut obtenir des formules intégrales reliant différentes propriétés de ces objets (le cas le plus connu étant sans doutes le problème de l'aiguille de Buffon).

Dans cet exposé, après avoir présenté une version simplifiée du paradoxe de Bertrand et fait quelques rappels accessibles sur les formes différentielles, nous étudierons le cas particulier de l'ensemble des droites affines du plan, où le groupe des transformations considérées sera celui des transformations affines, puis nous déduirons certaines formules de géométries intégrales (dont la surprenante formule de Cauchy-Crofton). Nous déterminerons enfin la solution au paradoxe de Bertrand apportée par la géométrie intégrale.

Tout est dans le titre, nous allons essayer de comprendre par le calcul les homologies des espaces suivants : le carré, le tore et le plan projectif réel (ou la sphère si l’audience préfère). Grâce à ces dernières nous auront obtenu une méthode topologique (dans le monde des déformations continues) pour distinguer ces objets ! Vous aurez besoin de votre théorie des groupes et c'est tout.

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Everything is in the title, we will try to understand by calculation the homologies of the following spaces: the square, the torus and the real projective plane (or the sphere if the audience prefers). Thanks to these we will have obtained a topological method (in the world of continuous deformations) to distinguish these objects! You will need your group theory and that's it.

L'IRM de diffusion est une méthode non invasive d'imagerie médicale, qui permet de cartographier les microstructures du cerveau, afin de détecter et suivre des maladies neurologiques telles que la sclérose en plaque. Nous verrons ensemble comment fonctionne l'IRM de diffusion, quels sont les modèles mathématiques qu'on applique aux images, et comment les améliorer. Nous étudierons quelques images obtenues grâce à cette technique.

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Diffusion MRI is a non-invasive method of medical imaging that maps the microstructures of the brain to detect and monitor neurological diseases such as multiple sclerosis. We will see together how diffusion MRI works, what mathematical models are applied to the images, and how to improve them. We will study some images obtained with this technique.

André Sainte-Laguë (1882-1950) est un enseignant, chercheur et vulgarisateur des mathématiques de l’entre-deux-guerres. Dans ses travaux, il affirme que les mathématiques sont par nature expérimentales et développe une forme d'expérimentation comme administration de la preuve. Sainte-Laguë mobilise cette méthode pour enseigner les mathématiques au lycée, les vulgariser auprès des visiteurs du Palais de la Découverte et dans ses recherches. Le travail de thèse de Sainte-Laguë sur les réseaux (ou graphes) permet d’illustrer comment il met en œuvre concrètement l’expérimentation dans ses recherches mathématiques. Ce travail académique, documenté par plus de cinq cents références, me permet également de proposer une histoire de la théorie des graphes. Pour conclure cette communication, je vous ferai visiter l’exposition que j’ai organisée au CRDM avec les archives inédites d’une des petites-filles d’André Sainte-Laguë.

Une EDP peut être résolue numériquement via des méthodes de discrétisations (Elements Finis, Volumes Finis, etc.), issues d’un maillage espace-temps, dont la finesse contrôlera l’erreur commise. Obtenir une grande précision implique de résoudre un système numérique de (très) grande taille, nécessitant d’importantes ressources de calcul. Cela pose problème lorsque l’on veut en résoudre un grand nombre avec des ressources limitées.

La réduction de modèle vise à approximer un ensemble de solutions (numériques) issues d’une EDP paramétrique par des structures de faible dimension. Une méthodes classique est celle des Bases Réduites, utilisant sur un sous-espace vectoriel construit par un algorithme glouton.

Dans cet exposé nous utiliserons l’exemple de la diffusion 2D pour comprendre comment cette méthode fonctionne. Nous verrons comment approximer rapidement et précisément une solution par un espace de faible dimension, et comment construire efficacement cet espace.

Prérequis : bases d’algèbre linéaire (valeur propres).

========== English version ==========

Model Reduction for parameterized PDEs: why and how ?

We can solve numerically a PDE using discretization methods (Finite Element, Finite Volume), based on some space-time meshing, whose fineness controls the error. Obtaining high accuracy implies solving a (very) large numerical system, requiring important computational resources. This is an issue when one wants to solve many of them with limited resources.

Model Reduction aims to approximate the set of (numerical) solutions from parameterized PDE by using low-dimensional structures. The Reduced Basis method is a classical approach, which is based on a vector subspace built via a greedy algorithm.

During this talk, we will use the 2D diffusion equation as an example to detail how the RB method works. We will learn how to approximate a solution using a low-dimensional vector subspace, with controlled accuracy and low computational cost, as well as how to build efficiently such a subspace.

Prerequisites: Linear algebra basics (eigenvalues).

Avant l'invention des mathématiques, même avant l'apparition des premiers rites religieux, l'Homme s'est de tout temps posé une grande question : combien y-a-t-il de numérotations d'un rectangle de hauteur 2 et de longueur n qui sont croissantes pour la ligne du bas, la ligne du haut, et dont, terme à terme, chaque élément du bas d'une colonne est plus petit que celui du haut de cette colonne ? C'est pour répondre à cette question existentielle que je donnerai un séminaire mardi prochain, à 14 heures. Venez avec feuille et crayon, et vous verrez qu'un détour par les séries entières permettra de répondre à cette interrogation préhistorique.

Le niveau requis pour comprendre cette conférence est de savoir faire le DL de (1+x)^{1/2}. A part ça, il n'y aura que des belles mathématiques.

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Abstract: Before the invention of mathematics, even before the appearance of the first religious rites, Man has always asked himself a great question : how many numberings of a rectangle of height 2 and length n are there that are increasing for the bottom line, the top line, and of which, term by term, each element of the bottom of a column is smaller than the one of the top of this column? It is to answer this existential question that I will give a seminar will give a next Tuesday at 2 pm. Come with paper and pencil, and you will see that a detour through the whole series will help answer this prehistoric question.

The level required to understand this lecture is to be able to do the DL of (1+x)^{1/2}. Apart from that, there will be only beautiful mathematics.

Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes probabilistes très populaires pour faire de la simulation ou de l'approximation. Elles sont par exemple utilisées comme une alternative aux méthodes déterministes dans le cadre de l'intégration numérique, surtout pour des problèmes d'intégration en grande dimension. Elles reposent essentiellement sur la loi des grands nombres. Après avoir présenté le principe général de ces méthodes, je souhaite aborder trois techniques que l'on peut utiliser pour contrôler ou réduire l'erreur dans le cadre de l'approximation : la variable de contrôle, les variables antithétiques et l’échantillonnage préférentiel.

Many vector-borne diseases are affected by the seasonality of the environment. Yet, the influence of the periodic fluctuations of the environment on the persistence of pathogens remain unclear. We analyse a general vector-borne disease model and we show that whether seasonality has a positive or negative effect on pathogen persistence depends on which component of the pathogen's life-cycle is affected by these periodic fluctuations. We use a perturbation analysis framework to obtain useful approximations to evaluate the overall consequences of seasonality on the persistence of pathogens. These approximations allow us to better understand why seasonality in vector density or in the biting rate of the vector can have opposite effects on pathogen dynamics.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la contrôlabilité d’une équation de Schrödinger linéaire, en 1D, sur un intervalle borné, avec un contrôle bilinéaire. Plus précisément, on se demandera si cette équation de Schrödinger est contrôlable lorsque le système linéarisé n’est pas contrôlable et la question sera alors de savoir si le terme quadratique permet ou non de rattraper les directions perdues au premier ordre. Avant d'apporter des éléments de réponse à cette question, on commencera par présenter sur des exemples en dimension finie le lien entre contrôlabilité et crochets de Lie, afin d’introduire les phénomènes de dérive présents en dimension infinie.