On donne des conditions suffisantes pour qu'une variété riemannienne à poids possède une inégalité de Fefferman-Phong. On discutera aussi brièvement d'une généralisation de ce résultat, et de quelques conséquences.
Le problème consistant à savoir si on peut placer une table de pique-nique sur un sol continu, de telle sorte que tous ses pieds touchent le sol, est plus subtil qu'il n'y paraît. On y apportera une réponse grâce à un théorème de Dyson sur les fonctions continues sur la sphère euclidienne de dimension 2 à valeurs dans R, dont on présentera une preuve n'utilisant que des notions élémentaires de topologie.
Si le temps nous le permet, on utilisera un résultat similaire, le théorème de Borsuk-Ulam, pour montrer qu'on peut d'un unique coup de couteau, couper à la fois le pain, la tomate et la salade d'un sandwich en quantités égales.
Après une présentation des techniques classiques employées pour l'étude des équations de Schrödinger linéaires et non-linéaires usuelles, on s'intéressera à une équation de Schrödinger non-linéaire particulière issue de la mécanique Bohmienne (théorie déterministe de la mécanique quantique) présentant deux non-linéarités logarithmiques : étude de solutions particulières (gaussiennes), existence locale de solutions, comportement en temps long, comportement numérique, etc... L'accent sera notamment mis sur le lien entre équation de Schrödinger et mécanique des fluides quantique.
De l'ADN aux plastiques, en passant par les protéines ou encore le caoutchouc, ces molécules complexes partagent une même structure de chaîne qui leur fait porter le nom de "polymères". On peut les décrire mathématiquement par une grande classe de modèles, ce qui permet d'étudier les phénomènes biophysiques ou chimiques dans lesquels ils sont impliqués (comme l'adsorption d'un polymère à une surface, ou la (dé)-naturation d'un polymère). L'objectif de cet exposé est de présenter quelques modèles basiques, qui sont soumis à des phénomènes appelés "transitions de phase". À travers ces modèles, nous décrirons ce que ces "transitions" représentent physiquement pour la molécule, et comment nous pouvons les mettre en évidence mathématiquement. Enfin, nous verrons dans un modèle plus avancé comment nos outils peuvent être adaptés pour étudier des phénomènes encore plus fins, comme les "transitions de surface".
Après une présentation des invariants de legendriennes à bord, incluses dans une variété de contact à bord suturé, je traiterai deux exemples issus de la construction conormale, illustrant les liens entre invariants topologiques et invariants de contact. Tout d'abord, je montrerai que l'homologie d'une fibre dans le complémentaire du conormal d'un noeud hyperbolique détermine le noeud. Si le temps le permet, j'exposerai aussi le cas des 2-tresses locales, qui sont déterminées par leurs conormaux.
Given an ordinary differential equation A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0, its solutions f(x,y) define a decomposition of the plane outside the zeros of A(x,y) and B(x,y) into regular curves. This is a prototype of a foliation, the leaves being the solutions of the given differential equation. In general, a foliation will be a generalization of this concept, i.e. instead of taking one equation, we take a system of equations, and to have solutions we demand an integrability condition. In this talk, I will introduce the concept of holomorphic foliation and give a characterization of regular foliations on rational surfaces.
Pour tout ensemble $X$ infini on peut définir son groupe de permutation $\mathfrak{S}(X)$. On note alors $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ le sous-groupe des permutations à support fini sur lequel il existe un morphisme signature naturel. Cependant, une observation de Vitali (1915) remarque que ce morphisme ne s'étend pas à $\mathfrak{S}(X)$. Dans cet exposé nous donnerons des sous-groupes de $\mathfrak{S}(X)$ qui contiennent $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ en particulier nous nous intéresserons au groupe des transformations d'échanges d'intervalles avec flip : IET$^{\bowtie}$. Puis nous construirons une extension du morphisme signature sur ces groupes et dans un dernier temps nous regarderons comment ce morphisme nous permet de classifier leurs sous-groupes normaux.
L’équation de Landau est un modèle cinétique utilisé pour la modélisation des
plasmas. Elle décrit l’évolution de la fonction de densité des particules F(t,x,v) à un
temps t, une position x et une vitesse v. En particulier, l'équation de type Landau linéaire est une équation cinétique inhomogène dont l’étude est motivée par la linéarisation de l’équation de Landau près d’une Maxwellienne. Dans cet exposé, on va étudier l’hypoellipticité et les propriétés spectrales associées à l'opérateur de type Landau (localiser le spectre et estimer la résolvante).
Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion d'optimisation de forme et dérivée de forme.
Pour cela, je vais opter pour deux approches, notamment celle de Murat-Simon, utilisant la dérivation
au sens de Fréchet, puis l’approche de Hadamard utilisant la dérivée eulérienne. En suite,
je m'intéresserai à la dérivation de quelques fonctionnelles géométriques volumiques.
Enfin, je vais terminer par un problème inverse géométrique du type Bernoulli.
Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion d'attracteurs en dimension 2 (dans un plan) et en dimension 3 par l'intermédiaire du célèbre attracteur de Lorenz. L'objectif sera donc d'apporter des éléments de réponses aux questions suivantes en présentant quelques bases des systèmes dynamiques : qu-est-ce qu'un attracteur (étrange ou non) ? Comment apparaissent de tels objets ? Peut-on les classifier ? Comment prouver leur existence ?
On verra donc dans un premier temps quelques définitions (attracteur, ensembles \oméga-limites...) nécessaires à la présentation du théorème de Poincaré-Bendixson, puis dans un second temps quelques propriétés de l'ODE de Lorenz et de son attracteur étrange.
