Séminaire des doctorants (archives)

Les martingales locales forment une classe de processus fondamentale en probabilités. Sur un espace vectoriel elles sont régies par une propriété d’espérance conditionnelle. Je commencerai donc par définir la notion de martingale sur une variété différentiable : comme pour les géodésiques, on supposera la variété munie d’une connexion linéaire. Une fois ce type d’objet bien défini on s’intéressera au problème suivant : une variable aléatoire étant fixée, peut-on trouver une martingale qui a pour valeur terminale cette variable aléatoire ? Si oui, est-elle unique ? Je proposerai une méthode qui fait appel aux EDSR (équations différentielles stochastiques rétrogrades), des équations issues du monde de la finance qui permettent ici de résoudre le problème au voisinage d’une carte locale.

A choisir parmi « Exposants de Lyapunov : Qui sont-ils ? À quoi servent-ils ? » et « Les géométries réelles de dimension 3 » Selon le choix du public, l’exposé sera: 1) Les exposants de Lyapunov, qui apparaissent en 1892 dans la thèse de Alexandre Lyapunov, sont un outil pour caractériser la stabilité des systèmes dynamiques. Dans le cas de la dynamique des orbites obtenues par itération d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle f de ℙn(ℂ) il a fallu attendre quelques décennies avant que le point de vue ergodique permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. L'idée fondamentale est d'utiliser une mesure f-invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne lorsque le cas par cas est trop difficile à appréhender. Cela permet notamment de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite Dxfn. Le but de l'exposé sera de présenter quelques endroits naturels où ces fameux exposants de Lyapunov apparaissent ainsi que les premiers résultats de la théorie ergodique et leur application à la dynamique holomorphe. 2) On entend souvent parler de "géométrie euclidienne" ou encore de "géométrie sphérique". Mais qu'appelle t'on réellement une géométrie ? Et combien y'en a-t-il ? Après avoir défini ce qu'est une géométrie, on verra ensemble les grands classiques que sont les géométries de dimension 1 et 2 et je vous présenterai les 8 géométries de dimension 3 établies par Thurston dans les années 70. Avec un peu de chance, je vous expliquerai comment reconnaitre la géométrie d'une 3-variété fermée compacte en regardant son groupe fondamental. Avec beaucoup de chance, je mentionnerai la conjecture de géométrisation de Thurston prouvée par Perelman en 2003.

Le but de cet exposé sera d'introduire le concept de masse et d'expliquer comment la positivité de cet invariant permet de comprendre la géométrie de variétés riemanniennes non compacts. Après un détour par la relativité générale, qui est son milieu d'origine, on s'intéressera en particulier au cas des variétés kählériennes asymptotiquement euclidiennes, cas dans lequel le théorème de la masse positive a été démontré récemment par Hein et Lebrun.

Dans cet exposé, nous étudierons la notion de relation de dispersion, d’un point de vue physique, et mathématiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des plasmas froids magnétisés à travers l’exemple des ceintures de Van Allen. Le but sera alors d’exposer la situation physique étudiée et les différents résultats obtenus jusqu’à maintenant sur le sujet.

On s’intéresse à l’évolution d’une population de cellules. Chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (son âge, sa taille, le nombre de parasites, …) qui évolue au cours du temps et qui détermine la dynamique de la cellule (sa durée de vie, son nombre de descendants,…). Lorsqu’on échantillonne un individu uniformément au temps t, on cherche à connaître son trait et l’histoire de son trait le long de sa lignée ancestrale. On présentera dans un premier temps le processus de Markov branchant utilisé pour décrire la population, puis on donnera une formule dite "Many-To-One" pour ce processus. Enfin, on s'intéressera au processus donné par le trait d’un individu échantillonné uniformément au temps t en grande population.

Dans cet exposé, nous étudierons l'image du réseau des entiers Z^2 par certaines formes quadratiques, ce qui fera apparaître des liens entre arithmétique et géométrie en courbure négative.

Les systèmes quantiques ouverts consistent en l'interaction entre un "petit" système et un autre plus grand généralement appelé environnement ou réservoir. Les systèmes avec interactions répétées en sont une classe particulière dans laquelle l'environnement est constitué de plusieurs sous-systèmes indépendants avec lesquels le petit système interagit de façon successive. Ils permettent par exemple de décrire des expériences du type "one-atom maser". Le but de cet exposé est d'étudier le système composé d'un mode du champ électromagnétique dans une cavité (le "petit" système) en interaction avec un faisceau d'atomes (les interactions répétées) et couplé à un champ de bosons (un autre environnement). On décrit ainsi un système du type "one-atom maser" avec fuites. On s’intéressera à l'existence/unicité d'un état invariant, à la convergence vers cet état ainsi qu'à la production d’énergie et d'entropie dans le système.

Dans cet exposé, j'introduirai les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) dans un cadre bien particulier, et parlerai d'une classe de solutions appelées "nappes de tourbillon-courant". On verra ensuite sur un exemple simplifié comment construire des solutions très régulières (dites "analytiques") au système de la MHD, en appliquant un théorème de Cauchy-Kowaleskaya.

L'objet du programme de Calabi est de munir des variétés complexes de métriques "privilégiées". En dimension complexe 1, on dispose de métriques à courbure scalaire constante, mais le problème se complique considérablement dès la dimension 2, et pour obtenir des constructions explicites, on est amené à étudier des cas particuliers ou des classes d'exemples. Dans cet exposé, je présenterai une approche possible du problème : les méthodes de recollement. Ce type de méthode s'applique dans le cas de certaines surfaces de Kähler, que l'on obtient par résolution des singularités d'une variété orbifold. Après avoir présenté le cadre de ces variétés complexes kählériennes, je détaillerai un exemple modèle d'application de la méthode de recollement, d'après un article de Donaldson.

We introduce a new functional summary statistic called the accumulative persistence function (APF) and having several attractive properties: It is a one-dimensional function easier to handle than the two-dimensional functions usually considered in persistence homology; for example, confidence regions are easier to plot and more visually appealing for a one-dimensional function than for a two-dimensional function; often, at least with probability one, there will be a one-to-one correspondence between the APF and the persistent diagram (for each fixed dimension) the APF is a natural way of constructing a monotonic function, and this will ease the proof of e.g. convergence theorems; contrary to the so-called dominant landscape function λ_1 or the silhouette, the APF provides information about topological features without distinguishing between long and short lifetimes. For instance, for application in spatial statistics, short lifetime topological features are relevant. In the talk we focus on extreme rank envelopes, a useful concept to make goodness-of-fit test associated to a confidence region for the APF, while other applications will be briefly discussed, including functional boxplots for APFs, the confidence region for the mean of APFs, and comparing groups of persistence diagrams: the two sample problem, clustering, and supervised classification.