Séminaire des doctorants (archives)

On considère l'équation des ondes non linéaire perturbée par une force aléatoire régulière en espace du type bruit blanc. Il est connu que cette équation engendre un processus de Markov qui possède une unique mesure stationnaire. Notre but est de décrire le comportement asymptotique de la famille de ces mesures lorsque l'amplitude du bruit tend vers zéro. On montrera, en particulier, qu'il existe une fonction à niveau compact qui décrit précisément ces asymptotiques.

Ce séminaire sera décomposé en deux parties indépendantes. Dans la première nous nous intéresserons aux liens qu'il peut y avoir entre mécanique quantique et mécanique classique, et notamment comment passer de l'une à l'autre lorsque l'on change l’échelle d'étude d'un problème. Dans la deuxième partie, nous étudierons un problème à première vue purement mathématique : les liens entre groupes et algèbres de Lie.

Cet exposé sera développé autour d'un théorème de Dirichlet en approximation diophantienne. Il répond à la question de l'approximation d'un irrationnel par une suite de rationnels et ce à l'ordre deux. Nous verrons comment la preuve de ce théorème peut être reliée avec certaines propriétés de la géométrie hyperbolique, puis, si le temps le permet, nous constaterons qu'il est difficile de faire mieux en terme d'ordre d'approximation!

La masse ADM, concept issu de la relativité générale, est un invariant géométrique de certaines variétés riemanniennes. Ses propriétés, dont nous parlerons lors de cet exposé, ont joué un rôle crucial dans la résolution du problème de Yamabe et l'introduction subséquente de l'invariant différentiel sigma par R. Schoen. Nous verrons ensuite comment une construction due à L. Habermann et J. Jost et utilisant la masse ADM permet de définir un invariant complémentaire à sigma.

In this work we focus on explicit finite volume schemes for systems of conservations laws in two dimensions with stiff source terms. Such systems may degenerate into diffusion equations. It is a major numerical challenge to follow this degeneracy. We propose a general framework to design an asymptotic preserving scheme, that is stable and consistent under a classical hyperbolic CFL condition in both hyperbolic and diffusive regime, for any two-dimensional unstructured mesh. Moreover, the scheme developed also preserves the set of admissible states, which is mandatory to keep physical solutions in stiff configurations. This construction is achieved by using a non-linear scheme as a target scheme for the diffusive equation, which gives the form of the global scheme for the complete system of conservation laws. Numerical results are provided to validate the scheme in both regimes.

On s’intéressera à la théorie spectrale des opérateurs non-autoadjoints et notamment au lien avec les semi-groupes. On verra que le spectre n'est pas la bonne notion pour étudier de tels opérateurs et on introduira la notion de pseudo-spectre.

Depuis 40 ans, le problème du comportement asymptotique des petites solutions des EDP non linéaires est traitée de manière extensive par beaucoup d'auteurs. Presque toute la littérature sur le sujet a pour but de montrer que les solutions des EDP non linéaires, pour des petites données initiales, se comportent asymptotiquement comme les solutions des problèmes linéaires associés. Mettre en évidence des dynamiques réellement non linéaires est une tâche souvent très difficile.

Aujourd'hui, on va adopter la méthode simple développée par J. Kato et F. Pusateri en 2010 au cas d'un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées. En utilisant des techniques d'analyse de Fourier, on démontrera (tout du moins j'essaierai de démontrer) des résultats d'existence globale et de scattering.

Le but sera de donner une introduction en douceur des bases de mécanique Hamiltonienne. Après quelques rappels de géométrie symplectique élémentaire, nous verrons comment définir un système Hamiltonien. On énoncera alors le théorème d'Arnold Liouville qui justifie presque à lui seul l'intérêt de rechercher des systèmes intégrables. Ensuite nous verrons comment ramener l'étude du flot géodésique sur une variété à un problème de système Hamiltonien. On donnera enfin, quelques exemples de systèmes géodésiques intégrables puis verrons quels types d'obstructions il peut y avoir à ce qu'un système soit intégrable.