Séminaire des doctorants (archives)

Dans cet exposé on s'intéressera aux problèmes hyperboliques linéaires posés dans un quart d'espace. Après une présentation du problème et une description des nouvelles difficultés induites par la non-régularité du bord du domaine de résolution, on décrira un cadre physique dans lequel le caractère fortement bien-posé du problème est connu. Puis on verra comment les outils de l'optique géométrique permettent de construire des solutions approchées pour de tels problèmes. Ceci permettra de mettre en évidence (sur des exemples explicites) de nouveaux phénomènes propres au problème dans le quart d'espace.

Le but de cet exposé est de proposer une introduction au problème de Calderón qui pose la question suivante : peut-on déterminer les propriétés électriques d’un milieu par des mesures sur son bord ? On commencera par donner quelques motivations à la résolution de ce problème puis l'on présentera les résultats connus dans le cas d'un ouvert de R^n pour des conductivités scalaires. On présentera ensuite brièvement quelques idées de preuves puis l'on finira par une présentation rapide du problème dans le cas anisotrope et des résultats connus dans ce cadre.

La constante de Yamabe locale d'un espace singulier est un invariant conforme, dont dépend l'existence d'une métrique à courbure scalaire constante. Cet exposé se propose de donner une introduction aux résultats connus sur cet invariant ; nous montrerons de plus comment il est possible de le calculer dans une famille d'espace stratifiés.

(Exposé en préparation du Forum des Jeunes Mathématicien-ne-s)

L'exposé donnera les outils de base pour comprendre le problème de Yamabe sur les variétés compactes. Dans une deuxième partie, les espaces stratifiés seront introduits avec les résultats connus dans ce cas sur l'existence d'une métrique à courbure scalaire constante. La dernière partie est dédiée aux espaces stratifiés avec une métrique d'Einstein.

Je présenterai un théorème KAM où la partie quadratique de l'hamiltonien présente des valeurs propres multiples mais d'ordre fini. Je donnerai également l’équation d'onde non linéaire avec masse comme exemple d'application.

Dans cet exposé nous commencerons par définir quelques éléments de calcul numérique en définissant l'ensemble des nombres à virgule flottante. Ensuite nous étudierons le calcul de coordonnées barycentriques dans un triangle et dans un polygone étoilé, puis nous verrons les difficultés pratiques liées au calcul numérique. Nous finirons par une application de ces coordonnées barycentriques pour calculer un gradient discret vérifiant certaines propriétés.