Séminaire des doctorants (archives)

La masse ADM, concept issu de la relativité générale, est un invariant géométrique de certaines variétés riemanniennes. Ses propriétés, dont nous parlerons lors de cet exposé, ont joué un rôle crucial dans la résolution du problème de Yamabe et l'introduction subséquente de l'invariant différentiel sigma par R. Schoen. Nous verrons ensuite comment une construction due à L. Habermann et J. Jost et utilisant la masse ADM permet de définir un invariant complémentaire à sigma.

In this work we focus on explicit finite volume schemes for systems of conservations laws in two dimensions with stiff source terms. Such systems may degenerate into diffusion equations. It is a major numerical challenge to follow this degeneracy. We propose a general framework to design an asymptotic preserving scheme, that is stable and consistent under a classical hyperbolic CFL condition in both hyperbolic and diffusive regime, for any two-dimensional unstructured mesh. Moreover, the scheme developed also preserves the set of admissible states, which is mandatory to keep physical solutions in stiff configurations. This construction is achieved by using a non-linear scheme as a target scheme for the diffusive equation, which gives the form of the global scheme for the complete system of conservation laws. Numerical results are provided to validate the scheme in both regimes.

On s’intéressera à la théorie spectrale des opérateurs non-autoadjoints et notamment au lien avec les semi-groupes. On verra que le spectre n'est pas la bonne notion pour étudier de tels opérateurs et on introduira la notion de pseudo-spectre.

Depuis 40 ans, le problème du comportement asymptotique des petites solutions des EDP non linéaires est traitée de manière extensive par beaucoup d'auteurs. Presque toute la littérature sur le sujet a pour but de montrer que les solutions des EDP non linéaires, pour des petites données initiales, se comportent asymptotiquement comme les solutions des problèmes linéaires associés. Mettre en évidence des dynamiques réellement non linéaires est une tâche souvent très difficile.

Aujourd'hui, on va adopter la méthode simple développée par J. Kato et F. Pusateri en 2010 au cas d'un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées. En utilisant des techniques d'analyse de Fourier, on démontrera (tout du moins j'essaierai de démontrer) des résultats d'existence globale et de scattering.

Le but sera de donner une introduction en douceur des bases de mécanique Hamiltonienne. Après quelques rappels de géométrie symplectique élémentaire, nous verrons comment définir un système Hamiltonien. On énoncera alors le théorème d'Arnold Liouville qui justifie presque à lui seul l'intérêt de rechercher des systèmes intégrables. Ensuite nous verrons comment ramener l'étude du flot géodésique sur une variété à un problème de système Hamiltonien. On donnera enfin, quelques exemples de systèmes géodésiques intégrables puis verrons quels types d'obstructions il peut y avoir à ce qu'un système soit intégrable.

Dans cet exposé on décrira un invariant de sous-variétés legendriennes, l'homologie de contact legendrienne, définie en associant à une sous-variété legendrienne L une algèbre différentielle graduée, l'algèbre de Chekanov, engendrée par les cordes de Reeb de L. En dimension 3, la théorie est entièrement combinatoire et dans ce cas là on donnera des idées de la preuve de l'invariance par isotopie legendrienne de cette homologie. Une version linéarisée fournit ensuite un invariant plus calculable, qui a permis à Chekanov de mettre en évidence l'exemple de deux nœuds legendriens de mêmes invariants classiques qui ne sont pour autant pas isotopes. En fonction du temps on verra comment se généralisent ces notions en dimension plus grande que 3.

Cet exposé a pour but de proposer une introduction à la théorie de Morse. La principale question abordée sera la suivante : étant connue une fonction définie sur une variété M, peut-on en déduire des informations sur la structure de la variété elle-même ? La réponse est généralement oui : la donnée d'une fonction de Morse induit une structure de complexe cellulaire sur M. On présentera les grandes idées de la preuve de ce résultat. Si le temps le permet, on abordera également les questions de réarrangement et d'annulation de points critiques.

Dans cet exposé, on verra comment généraliser les fonctions holomorphes d'une variable à plusieurs variables complexes. Utiliser de telles fonctions peut s'avérer utile dans la résolution d'équations aux dérivées partielles lorsque l'on recherche des solutions particulières analytiques. On abordera la résolution d'une catégorie particulière d'EDP holomorphes à l'aide d'un théorème de Cauchy-Kowalevskaya (version "complexe"). Enfin, l'échelle analytique peut également permettre de résoudre localement en temps des EDP non linéaires d'ordre un en temps et en espace, à l'aide d'un théorème de Cauchy-Kowalevskaya (version "réel").

The shallow-water equations are widely used to model the free surface of a fluid in motion. However, when introducing the friction source term in the equations, the well-balanced property (preservation of the steady states) becomes harder to ensure. The aim of this talk is, after presenting the equations, to find the steady states for the shallow-water equations with friction, and show how to numerically preserve them. Numerical experiments will be shown to illustrate such a result.