Stage de L3/M1 : introduction à la K-théorie algébrique élémentaire

On se propose de comprendre la définition et des propriétés de la K-théorie algébrique de petit degré (K0, K1 et éventuellement K2) des anneaux. Pour tout anneau A et tout entier i, Ki(A) est un groupe abélien qui code des propriétés d'algèbre linéaire sur les A-modules projectifs, liées aux opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes des matrices à coefficients dans A. Ces groupes abéliens ont également à voir avec des propriétés arithmétiques de l'anneau A. Même la K-théorie algébrique élémentaire (i.e. pour i au plus égal à 2, la définition dans le cas i>2 nécessitant de la théorie de l'homotopie) pose rapidement des problèmes difficiles et profonds. On suivra une partie du livre de J. Milnor Introduction to algebraic K-theory afin de comprendre les définitions et premières propriétés générales de cette K-théorie de bas degré (§1 à 4 voire 6 du livre) ; si le temps le permet, on pourra également étudier des problèmes plus spécifiques (des paragraphes plus avancés du livre, ou lien entre le K0 de l'anneau des fonctions continues vers R et le K0 topologique pour un espace compact, ou étude d'une partie de l'article de Swan Excision in algebraic K-theory, JPAA 1971, ou quelques problèmes de stabilité, d'après Bass par exemple).