Master 1 MFA

Pendant plusieurs dizaines d'années, la conjecture A_2 est restée ouverte sur l'obtention de bornes "optimales" pour la bornitude des opérateurs de Calderon-Zygmund dans les espaces de Lebesgue à poids, avec un poids de la classe de Muckenhoupt. Cette conjecture a été résolue récemment en 2005 et la preuve a été revisitée et simplifiée depuis. L'objet de ce mémoire, sera de comprendre et écrire la preuve dans un cas particulier, celui des multiplicateurs de Fourier sur l'espace Euclidien (cas particulier d'opérateurs de Calderon-Zygmund). La preuve repose sur des techniques classiques d'analyse harmonique (temps d'arret, découpage via des cubes dyadiques, ...) et utilise un opérateur maximal associé à l'opérateur considéré.

Ce sujet concerne l'étude d'exponentielles d'opérateurs $e^{tA}$ pour $A$ opérateur borné. Lorsqu'il est autoadjoint ou normal, la question est facile. Elle se complique lorsque $A$ n'est plus ni autoadjoint ni normal, meme dans le cas ou $A$ est une matrice 2x2. L'objet de ce stage est l'étude de telles exponentielles, dans le cas de la dimension fini et éventuellement dans des cadres plus complexes, faisant actuellement l'objet de travaux de recherche nombreux en théorie spectrale.

Il s'agit de comprendre la définition, les premières propriétés et quelques exemples simples de calcul de la (co)homologie des groupes discrets. Celle-ci peut se voir de façon topologique, comme la (co)homologie singulière d'un espace topologique naturellement associé au groupe, appelé classifiant du groupe, ou algébrique (point de vue qu'on privilégiera plutôt), comme extension graduée (dérivée) du foncteur associant à une représentation du groupe le groupe abélien de ses invariants (pour la cohomologie) ou de ses coïnvariants (pour l'homologie). Cette extension est destinée à pallier le défaut de préservation des suites exactes par ces foncteurs ; elle intervient fréquemment en topologie algébrique et dans de nombreux domaines de l'algèbre. Pour les bases, on pourra suivre le livre de C. Weibel An introduction to homological algebra (le minimum étant de comprendre les chapitres 1 et 2, une partie du 3 et le 6 jusqu'au §6.7). Une fois les définitions et premières propriétés assimilées, on étudiera l'identification fonctorielle de la (co)homologie des groupes abéliens à coefficients dans un corps. Si le temps le permet, on se penchera sur un ou deux exemples de calculs plus avancés, autour des groupes linéaires. On pourrait par exemple étudier la démonstration de Quillen de la trivialité de l'homologie du groupe linéaire infini sur un corps fini de caractéristique p à coefficients dans Z/p (On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field, Annals of Math. 1972, §11), ou des cas particuliers de résultats d'annulation d'homologie à coefficients dans une représentation polynomiale du groupe linéaire infini dus à Betley (début de l'article Vanishing theorems for homology of GlnR, JPAA 1989, par exemple).

On se propose de comprendre la définition et des propriétés de la K-théorie algébrique de petit degré (K0, K1 et éventuellement K2) des anneaux. Pour tout anneau A et tout entier i, Ki(A) est un groupe abélien qui code des propriétés d'algèbre linéaire sur les A-modules projectifs, liées aux opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes des matrices à coefficients dans A. Ces groupes abéliens ont également à voir avec des propriétés arithmétiques de l'anneau A. Même la K-théorie algébrique élémentaire (i.e. pour i au plus égal à 2, la définition dans le cas i>2 nécessitant de la théorie de l'homotopie) pose rapidement des problèmes difficiles et profonds. On suivra une partie du livre de J. Milnor Introduction to algebraic K-theory afin de comprendre les définitions et premières propriétés générales de cette K-théorie de bas degré (§1 à 4 voire 6 du livre) ; si le temps le permet, on pourra également étudier des problèmes plus spécifiques (des paragraphes plus avancés du livre, ou lien entre le K0 de l'anneau des fonctions continues vers R et le K0 topologique pour un espace compact, ou étude d'une partie de l'article de Swan Excision in algebraic K-theory, JPAA 1971, ou quelques problèmes de stabilité, d'après Bass par exemple).