Master 2 MFA

L'étude des systèmes hyperboliques est motivée par de nombreuses applications physiques : l'éléctromagnetisme, l'élastodynamique, la mécanique des fluides etc. Pour tous ces problèmes, la simulation numérique est un outil indispensable dans des contextes industriels. De telles simulations requierent une bonne compréhension des conditions aux limites numériques qu'on est en droit d'imposer, soit pour coller à la modélisation physique soit parce que le domaine de simulation doit être tronqué artifficiellement. Le but du mémoire est d'aborder la théorie des problèmes aux limites pour les discrétisations de systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques. On étudiera dans un premier temps les discrétisations d'un tel système par des méthodes de différences finies en l'absence de frontières. On étudiera ensuite l'influence des conditions aux limites numériques lorsque le domaine de simulation est une demi-droite, le but de la théorie étant de caractériser (par une condition nécéssaire et suffisante) la stabilité  d'un schéma par une condition de type algébrique sur une famille de sous-espaces vectoriels. Cette condition est dûe, dans ce contexte, à Gustafsson, Kreiss et Sundstrom. Le mémoire proposé peut s'inscrire dans un parcours incluant une thèse de doctorat dans cette thématique.

Les variétés projectives complexes possèdent une structure naturelle de variété kaehlérienne : comme l’espace projectif possède une métrique naturelle, la métrique de Fubini-Study, on en déduit une métrique de Kaehler induite sur la variété projective appelée métrique de Bergman. Cependant, une telle métrique n’est définie qu’à l’action près du groupe linéaire qui agit sur l’espace projectif complexe, et donc sur la métrique. Cette action donne un nombre fini de degrés de liberté. Plus généralement, on peut perturber toute métrique kaehlérienne par un potentiel (ie une fonction) et l’espace des métriques kaehlériennes est ainsi de dimension infinie. Une question légitime est donc de se demander si il existe une métrique kaehlérienne privilégiée. La recherche de métriques canoniques a été initiée par Calabi. On cherche à perturber la métrique par un potentiel pour minimiser un problème variationnel, en l’occurence la norme L2 de la courbure scalaire. Cette approche analytique est réputée extrêmement difficile. Elle donne lieu à une équation différentielle non linéaire d’ordre 4...

Le but de ce stage de Master 2 sera de se familiariser avec la théorie KAM classique (en dimension finie) et de commencer à réfléchir à son extension en dimension infinie, ce qui pourra déboucher naturellement sur une thèse. Plus précisément le stage s’articulera de la manière suivante : (i) Un cours accéléré de mécanique Hamiltonienne (si nécessaire) qui pourra s’appuyer sur le livre de Wiggins cité en référence [W]. (ii) Une étude des notions plus spécialisées : tores invariants, petits diviseurs, résonances... (iii) Une démonstration complète du théorème originel de Kolmogorov dans une version récente et très élégante due à Hubbard et Ilyachenko (voir [HI]). (iv) Une première approche des problèmes de la dimension infinie (Résonances, conditions de Melnikov, espaces fonctionnels...) autour du cas relativement simple de l’équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle (voir [G, K]. Aucun prérequis spécifique n’est demandé hormis une base solide en analyse réelle et complexe et en analyse de Fourier.

Le but de ce stage de recherche est d’aborder le probl`eme de l’existence d’une métrique
à courbure scalaire constante dans un classe conforme.

La théorie de l'optique géométrique étudie le comportement asymptotique de solutions d'equations aux derivees partielles dans la limite des \hautes frequences". Cette theorie est d'un inter^et tout particulier lorsque l'equation aux derivees partielles etudiee decrit un phenomene de propagation comme les equations de Maxwell, l'equation de Schrodinger, la mecanique des uides etc.

L'analyse spectrale aux seuils est un outil qui permet d'étudier certains de ces
phénomènes de manière rigoureuse. Même si un tableau complet a été dressé après
plusieurs décennies de recherche sur les propriétés spectrales au seuil zéro pour
l'opérateur de Schrödinger à deux-corps avec un potentiel électrique décroissant sur
l'espace euclidien, beaucoup de questions restent ouvertes dans des situations plus
compliquées, comme des problèmes avec un champs magnétique, dans la diffusion
géométrique ou à N-corps.
Le but de ce stage est de comprendre les méthodes couramment utilisées dans la
littérature existante. Une bonne connaissance de base en analyse est souhaitée.

Les seuils sont des valeurs exceptionnelles d'énergie près desquelles des phénomènes physiques complexes se produisent. L'analyse spectrale aux seuils est un outil qui permet d'étudier certains de ces phénomènes de manière rigoureuse. Même si un tableau complet a été dressé après plusieurs décennies de recherche sur les propriétés spectrales au seuil zéro pour l'opérateur de Schrödinger à deux-corps avec un potentiel électrique décroissant sur l'espace euclidien, beaucoup de questions restent ouvertes dans des situations plus compliquées, comme des problèmes avec un champs magnétique, dans la diffusion géométrique ou à N-corps.
Le but de ce stage est de comprendre les méthodes couramment utilisées dans la littérature existante. Une bonne connaissance de base en analyse est souhaitée.