Master 2 MFA

L'équation de Maurer-Cartan pour un élément de degré impair d'une algèbre de Lie différentielle graduée apparaît naturellement en théorie des déformations, en géométrie différentielle et en physique mathématique. Plus généralement on peut étudier les algèbres de Lie à homotopie près (les L_\infty-algèbres) ; ces structures peuvent être décrites en termes de DG-variétés, d'après Kontsevich et al.
Getzler (2009) a développé les idées de Hinich pour définir l'ensemble simplicial de Maurer-Cartan associé à une algèbre de Lie à homotopie près, qui joue un rôle essentiel en théorie de déformations.
D'autre part, dans un travail récent de Chuang et Lazarev (2012), une théorie générale d'éléments de Maurer-Cartan a été développée, dans le contexte des algèbres L_\infty (ou A_\infty), en expliquant la relation avec le point de vue géométrique de Kontsevich.
L'objectif de ce stage est d'étudier l'équation de Maurer-Cartan dans le contexte des algèbres L_\infty et son application à la théorie des déformations. Dans un premier temps, il faudra étudier les notions d'algèbre L_\infty et d'algèbre A_\infty (éventuellement en introduisant la théorie plus générale des opérades).
Prérequis : notions de base en algèbre et algèbre homologique ; les définitions élémentaires de la théorie des catégories ; objets simpliciaux.
Le stage pourrait mener vers un sujet de thèse.

En géométrie algébrique classique, il y a un correspondance entre algèbres commutatives et schémas affines ; en géométrie non-commutative on passe aux algèbres associatives (mais non-commutatives). Dans ce cadre, il est souvent difficile de formuler la bonne analogue non-commutative d'une structure géométrique classique ; selon le principe heuristique de Kontsevich et Rosenberg, les schémas de représentations permettent l'étude de structures géométriques d'algèbres non-commutatives (formellement lisses). En passant au cadre dérivé (au sens de l'algèbre homotopique à la Quillen), on peut s'affranchir de l'hypothèse 'lisse'.
Le but de ce stage est d'aborder cette approche à la géométrie non-commutative, d'après Ginzburg et bien d'autres, et d'étudier la version dérivée de la théorie, en suivant les travaux récents de Berest, Felder, Ramadoss et leurs coauteurs (2011 - ). Par ces méthodes, on obtient une notion naturelle d'homologie des représentations et sa version stable, qui est en relation avec l'homologie cyclique.
Pour cela, on utilise la théorie d'algèbre homotopique (catégories de modèles) notamment pour les algèbres différentielles graduées (commutatives) et les foncteurs dérivés à la Quillen.
Un objectif sera d'illustrer cette théorie par l'étude d'exemples explicites, par exemple provenant des algèbres quadratiques et d'étudier les conséquences de la dualité de Koszul, en relation avec les résultats de Feigin et Tsygan sur la (co)homologie cyclique. Plus généralement, on considéra les intersections complètes non-commutatives.
Si le temps le permet, on pourra également étudier les différentes notions de structures de Poisson non-commutatives (dérivées) et d'autres structures géométriques, d'après Crawley-Boevey, Ginzburg, van den Bergh...
Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.

Prérequis : notions de base en algèbre et algèbre homologique et les définitions élémentaires de la théorie des catégories.

Ce sujet aborde un aspect différent du sujet précédent de la théorie des singularités. Les deux sujets ne sont pas pour autant étrangers l'un à l'autre. La fibration de Milnor est une fibration localement triviale associée à une singularité d'un germe analytique f ou une application polynomiale. La connexion de Gauss Manin qui consiste à mettre une structure de fibré à connexion intégrable sur les espaces de cohomologie des fibres de cette fibration. Cette connexion reflète les propriétés topologiques et géométriques de l'application f.s L'objectif du mémoire est de comprendre à travers un article de Malgrange qui traite des singularités isolées le lien étroit entre cette connexion et un invariant de la singularité appelé polynôme de Bernstein Sato. Cette étude sera menée pour permettre l'accès à des travaux récent et des problèmes ouverts liés à ce thème pouvant déboucher sur un projet de thèse.

Les diviseurs libres sur une variétés analytique complexe ont été introduits par Kyoji Saito pour rendre compte des propriétés des complexes de formes différentielles à pôles simples qui sont partagées au dela des croisements normaux par diverses classes importantes d'hypersurfaces singulières : discriminants d'espaces de déformations, ou certains arrangements d'hyperplan. Dans ce mémoire on étudiera la définition et les propriétés fondamentales dans l'article fondateurs de K. Saito. On illustrera cette étude à travers une classe d'exemples concrète : Les diviseurs homogènes libres sont les complémentaire d'une orbite ouvert de Zariski pour certaines représentations dites préhomogènes de groupes algébriques. Par ce biais on aura accès à des résultats récents et aux problèmes ouverts de la théorie pouvant déboucher sur un projet de thèse.

Sujet concernant la géométrie birationnelle des surfaces :
Existence de modèles minimaux des surfaces complexes, critère
de Castelnuovo, fibrés en coniques, surfaces de Del Pezzo, cas des
surfaces avec action d’un groupe fini G.
Référence : A. Beauville "Surfaces algébriques complexes" (Asterisuqe No 54, 1978).
Ce sujet pourra donner lieu à une poursuite en thèse.

A travers l’étude d’une classe d’exemples précis, les surfaces réglées,
ce sujet permettra à l’étudiant d’aborder la classification des
surfaces algébriques et notamment le pendant réels de la classification
d’Enriques-Kodaira. Le point de départ est la lecture des paragraphes
1 et 2 d’un article de J.-Y. Welschinger de 2003.
Ce sujet pourra donner lieu à une poursuite en thèse.

On considere deux operateurs autoadjoints Hj définis sur L2(R+) par : Hj =-d^2/dx^2 + q_j(x) pour j = 1 ou 2, avec des conditions aux bords convenables. On suppose que les potentiels q_j(x) sont dans L^1_loc(R+) et sont à valeurs réelles. A chaque operateur H_j , on peut associer naturellement une fonction spectrale m_j(z), analytique sur C\R, appelee fonction de Weyl-Titchmarsh. En 1950, Borg et Marchenko ont demontre que m1(z) = m2(z) sur C\R implique Alors : q_1 = q_2 presque partout sur R+. L'objet de ce stage de Master 2 est de démontrer une version locale (donc plus forte) de ce théoreme.

Soulé a montré que le morphisme naturel de l'homologie du groupe SLn(k) dans celle de SLn(k[t]), à coefficients dans K, est un isomorphisme lorsque k est un corps commutatif de caractéristique p > 0 et K un corps de caractéristique différente de p.
Knudson a montré, plus récemment, que le même résultat vaut lorsque k est un corps commutatif infini et K = Z.
Le but de ce stage est de comprendre la démonstration de ces résultats. Elle repose sur l'étude minutieuse d'un objet géométrico-combinatoire associé aux groupes linéaires sur l'anneau de polynômes k[t], appelé immeuble.

Soit M une varieté fermee lisse orientée. Soit LM := Cont(S^1;M) l'espace des
lacets libres sur M : un lacet libre sur M est une application continue du cercle S1
dans M. Considerons l'homologie de LM, notee H_*(LM).
Chas et Sullivan ont demontré que H_*(LM) est munie d'une structure d'algèbre
de Batalin-Vilkovisky : un crochet de Poisson sur H(LM) est le défaut pour une
opération différentielle
d'être une dérivation.
Tamanoi donne une démonstration particulièrement simple et intéressante
de ce résultat de Chas-Sullivan à l'origine de la topologie des cordes : il utilise des
applications de Gysin ou shriek maps qu'il défnit par Thom-Pontryagin.
Ce sujet est clairement un bon début pour faire une thèse en topologie des cordes.

Les déformations formelles des algèbres enveloppantes des (super)-algèbres
de Lie simples Uhg sont des algèbres de Hopf enrubannées aussi appelées
groupes quantiques. Leurs représentations permettent de définir des fonctions invariantes
sur les classes d'isotopie ambiante de noeuds dans R3. On
peut deriver de Uhg, pour chaque q dans C, une (super)-algèbre de Hopf complexe Uqg.
Pour les algèbres de Lie simples, certaines représentations de Uqg
lorsque q est une racine de l'unité peuvent aussi être munies d'une structure
enrubannée. Le but du stage consistera à étudier les représentations de Uqg
en vue de généraliser ce résultat lorsque q est une racine de l'unite et g est
la super-algèbre de Lie sl(2|1).
Ce stage aura lieu à l'Université de Bretagne Sud et pourra donner lieu à une suite en thèse