Master 2 MFA

Le groupe des automorphismes d'un groupe libre L possède au moins deux filtrations décroissantes remarquables, l'une obtenue en considérant les automorphismes induisant l'identité sur un sous-quotient donné de la suite centrale descendante du groupe L, et la suite centrale descendante du premier terme de la filtration précédente (noté traditionnellement IA(L) : ce sont les automorphismes de L qui induisent l'identité sur son abélianisation). L'étude fine de ces filtrations est difficile ; tout récemment, Satoh a décrit, rationnellement et stablement, les sous-quotients de la seconde, tandis que Batholdi a infirmé la conjecture d'Andreadakis selon laquelle les deux filtrations coïncideraient (il en a toutefois confirmé une forme affaiblie). Il s'agirait, dans cette thèse, de reprendre de façon systématiquement fonctorielle en L les résultats existants sur le sujet (en les reliant aux notions de foncteurs polynomiaux appropriées qui apparaissent naturellement ici), de les améliorer, et aussi éventuellement, d'étudier de ce même point de vue fonctoriel l'homologie des termes de ces filtrations (notamment du groupe IA(L), sur laquelle on sait extrêmement peu de choses). Prérequis : bonne familiarité avec l'algèbre abstraite (modules sur un anneau arbitraire), le langage des catégories, des rudiments en algèbre homologique.

l'homologie des groupes symétriques à coefficients constants a été déterminée par Nakaoka il y a plus de cinquante ans. Dans l'article de 2010 de Cohen Hemmer et Nakano qu'on se propose d'étudier, les auteurs déterminent l'homologie des groupes symétriques à coefficients dans certaines représentations remarquables. Attention, ce sujet est exigeant : il nécessite une bonne connaissance des modules sur un anneau quelconque mais aussi d'avoir déjà une certaine familiarité avec l'algèbre homologique et la topologie algébrique.

Possibilité de prolongement en thèse.

les foncteurs polynomiaux, notamment entre espaces vectoriels sur un corps finis, apparaissent naturellement en théorie des représentations, en homologie des groupes et topologie algébrique. Leur structure est intimement liée aux représentations des groupes symétriques ; cette découverte remonte à des travaux anciens de Pirashvili, voire de Schur (sans le langage catégorique). Dans un travail plus récent (2002), Kuhn étudie finement les quotients de la filtration polynomiale pour les foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini non premier. On se propose d'aborder ces questions, qui pourront servir également d'introduction à l'étude générale des catégories de foncteurs vers une catégorie abélienne. Les méthodes et les prérequis sont essentiellement de nature algébrique et catégorique.

Possibilité de prolongement en thèse.

les groupes orthogonaux sur un corps k, même familier comme celui des nombres réels, sont très difficiles à étudier du point de vue homologique dès lors qu'on les considère comme groupes discrets. On dispose toutefois de nombreux résultats de stabilité affirmant que, sous de bonnes hypothèses sur k, l'homologie du groupe O_n(k) ne dépend pas de n dès que cet entier est assez grand par rapport au degré homologique. Le but de ce mémoire est d'acquérir une certaine familiarité avec l'homologie des groupes discrets (une bonne connaissance des modules sur un anneau quelconque est nécessaire, avoir déjà vu un peu d'algèbre homologique est souhaitable) puis de comprendre un, voire plusieurs, énoncés de stabilité homologique pour les groupes orthogonaux, suivant Vogtmann notamment.

Possibilité de prolongement en thèse.

Dans ce mémoire, on étudiera la décroissance exponentielle des fonctions propres de certains opérateurs de Schrödinger à 2 corps associées à des valeurs propres vivant en dessous du spectre essentiel. On commencera par étudier le cas particulier d'un potentiel de type "puits carré" et le cas de l'atome d'hydrogène. Dans ces deux cas, on peut faire des calculs explicites. On généralisera ensuite ces résultats en utilisant une méthode due à Agmon (métrique d'Agmon). Une dernière partie sera consacrée à une étude bibliographique et mathématique de ce sujet.

Bibliographie :
1 - Introduction to spectral theory, P. D. Hislop et I. M. Sigal, Springer, pp. 27-37.
2 - Exponential decay of two-body eigenfunctions : a review, P. D. Hislop, Mathematical Physics and Quantum eld theory, Electronic Journal of Dierential Equations, Conf. 04, 2000, pp. 265- 288.

Ce sujet ne donnera pas lieu à une poursuite en thèse.

L'étudiant apprendra les rudiments de la géométrie de contact et étudiera les sous-variétés legendriennes des espaces de jets. Après avoir étudié les invariants classiques de celles ci il s'attellera à comprendre la construction d'invariants plus poussés provenant des courbes pseudo-holomorphes (il étudiera l'aspect combinatoire en basse dimension dans [Che] et aussi l'aspect plus géométrique de [EES]). Une fois comprise la construction de cet invariant, il étudiera comment extraire des invariants de dimension fini en étudiant les linéarisations des algèbres différentielles graduées semi-libres. Le cas échéant, il définira la catégorie d'augmentations d'une sous-variété legendrienne apparaissant dans [BC].

Ce sujet devrait rapidement amener l'étudiant à considérer des questions récentes et à utiliser des méthodes actives de la géométrie de contact.

Possibilité de prolongement en thèse.

Sujet de thèse proposé:

En utilisant le modèle des complexes tordus pour la catégorie dérivée d'une catégorie A-infini tel que décrit dans [Sei], l'étudiant cherchera à trouver des générateurs de la catégorie d'augmentations en terme d'objets géométriques simples. Notamment, il travaillera sur la conjecture suivante: toute catégorie dérivées de la catégorie d'augmentations d'une sous-variétés legendriennes est équivalente à la catégorie dérivée de celle engendrée par un entrelacs formé de sphères de Whitney.

De plus l'étudiant pourra étudier les relations algébriques découlant des divers représentations géométriques de celle-ci par le biais des "n-copies" translatées (soit très proches, soit très loin).

L'étude des catégories A-infini en géométrie symplectique est un sujet extrêmement actif, utiliser celles-ci dans la cadre des sous-variétés legendrienne est relativement récent et offrira à l'étudiant un sujet prometteur encore relativement vierge de résultats même au niveau structurel.

[BC]: F. Bourgeois, B. Chantraine; "Bilinearised Legendrian contact Homology and the augmentation category", 2012. [Che]: Y. Chekanov; "Differential algebra of Legendrian links", 2002. [EES]: T. Ekholm, J. Etnyre, M. Sullivan; "The contact homology of Legendrian submanifolds in R^{2n+1}", 2005. [Sei]:P. Seidel; "Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory.", 2008.

L'étude quantitative des EDP (stabilité, stabilisation, etc.) est un problème complexe [1]. Dans ce stage, nous proposons d'établir une correspondance entre une classe d'EDP linéaire hyperbolique (qui représente par exemple le filtrage de polluants lors d'un écoulement [2]) et ce que l'on appelle le modèle de Roesser qui fait partie de la classe des systèmes multidimensionnels. Il s'agira ensuite de contrôler l'EDP via le modèle de Roesser pour lequel des lois de commande existent déjà.

Les systèmes multidimensionnels ou nD [3] sont une généralisation des équations différentielles ordinaires (EDOs). A la différence des EDOs, l’information peut se propager dans plusieurs directions indépendantes (habituellement le temps t dans le cas des EDOs).

Le travail de l’étudiant se décomposera de manière suivante : - Prendre connaissance de la littérature sur les systèmes nD. - Bien définir les solutions de l'EDP dans le cas multivariable [2]. - Bien définir la nature de la correspondance entre les deux modèles. - Proposer un contrôleur pour l'EDP à partir de celui dont on dispose pour le modèle de Roesser [4]. - Implémenter si possible sous Matlab la solution obtenue.

Bibliographie:

[1] J. M. Coron, Control and nonlinearity, Mathematical survey and monographs, Vol. 136, AMS, 2007.
[2] Dymkov, M., Galkowski, K., Rogers, E., Dymkou, V., & Dymkou, S. (2011, September). Modeling and control of a sorption process using 2D systems theory. In Multidimensional (nD) Systems (nDs), 2011 7th International Workshop on (pp. 1-5). IEEE.
[3] Bose, N. N. K., Guiver, J. P., Kamen, E. W., Valenzuela, H. M., & Buchberger, B. (1985). Multidimensional systems theory. D. Reidel.
[4] Ghamgui, M., Yeganefar, N., Paszke, W., Bachelier, O., & Mehdi, D. (2011, September). S-procedure for deriving stability conditions of hybrid Roesser models. In Multidimensional (nD) Systems (nDs), 2011 7th International Workshop on (pp. 1-4). IEEE.

Le stage s'effectuera dans les locaux du Laboratoire d'Informatique et d'Automatique pour les Systèmes LIAS (http://www.lias-lab.fr/ ) de l'Université de Poitiers. Ce travail s'inscrit dans le cadre du projet ANR MSDOS et un financement est disponible si le candidat souhaite poursuivre en thèse.

Encadrants : Nima Yeganefar (05 49 45 36 67) Emmanuel Moulay Alain Miranville

L'étude des systèmes hyperboliques est motivée par de nombreuses
applications physiques : l'éléctromagnétisme, l'élastodynamique, la
mécanique des fluides etc. Pour tous ces problèmes, la simulation
numérique est un outil indispensable dans des contextes industriels.
De telles simulations requièrent une bonne compréhension des
conditions aux limites numériques qu'on est en droit d'imposer, soit
pour coller à la modélisation physique soit parce que le domaine de
simulation doit être tronqué artificiellement.

Le but du mémoire est d'aborder la théorie des problèmes aux limites
pour les discrétisations de systèmes d'équations aux dérivées partielles
hyperboliques. On étudiera dans un premier temps les discrétisations
d'un tel système par des méthodes de différences finies en l'absence
de frontières. On étudiera ensuite l'influence des conditions aux
limites numériques lorsque le domaine de simulation est une demi-droite,
le but de la théorie étant de caractériser (par une condition nécessaire et
suffisante) la stabilité d'un schéma par une condition de type algébrique
sur une famille de sous-espaces vectoriels. Cette condition est
dûe, dans ce contexte, à Gustafsson, Kreiss et Sundström.

Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.

Les opérations de Milnor sont des cas particuliers des opérations de Steenrod ; elles ont la particularité d'agir comme des dérivations par rapport au cup-produit de la cohomologie singulière. Ces opérations sont particulièrement importantes dans l'étude de la filtration chromatique en théorie d'homotopie stable.
Le but de ce stage est d'introduire les opérations cohomologiques, en particulier les opérations de Milnor. Les applications de ces opérations seront étudiées avec, en vue, leur rôle en théorie d'homotopie stable.
Si le temps le permet, on étudiera la relation entre le cobordisme complexe et l'homologie singulière. Un objectif ambitieux serait de mieux comprendre un analogue conjectural en topologie algébrique du correspondance BGG entre modules sur une algèbre extérieure et modules sur l'algèbre symétrique associée.
Il s'agit d'un projet de grande envergure, qui servirait comme apprentissage d'une partie indispensable de la théorie d'homotopie stable.

Prérequis : connaissances de base en topologie algébrique.

Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.

Les opérations cohomologiques telles que les opérations de Steenrod pour la cohomologie singulière à coefficients dans un corps fini sont des outils fondamentaux en topologie algébrique. Leurs analogues en géométrie algébrique, tels que les opérations de Steenrod motiviques (qui agissent sur la cohomologie motivique à la Beilinson ou sur les groupes de Chow) ou bien les opérations sur la théorie des cobordismes algébriques (à la Levine et Morel) étudiées par Vishik (2013), ont eu des applications fondamentales (travaux de Karpenko, Vishik, Voevodsky, Yagita... ) - par exemple à la démonstration de la conjecture de Milnor par Voevodsky.
Le but de ce stage est d'introduire les opérations cohomologiques et d'étudier quelques-unes de leurs applications, en développant la théorie nécessaire. (Le choix de l'application à étudier se fera en fonction des connaissances de l'étudiant.)
Une possibilité serait de s'orienter vers la cohomologie d'espaces classifiants de groupes discrets, de groupes de Lie (ou bien de groupes algébriques). Ici un ingrédient était par Totaro, qui a montré comment introduire la notion d'espace classifiant dans le cadre de la géométrie algébrique, et ainsi ouvert la voie à l'étude des groupes de Chow de ces espaces ; ce contexte a été élargi par les travaux de Morel et Voevodsky en théorie d'homotopie motivique. Totaro a également raffiné la notion de l'application cycle, établissant ainsi une relation profonde avec les théories de cohomologie généralisée.
L'étude des nouvelles techniques provenant de la géométrie algébrique, telle que les méthodes de stratification, est particulièrement intéressante. Par exemple, on pourrait étudier la filtration coniveau de la cohomologie des groupes, suivant Yagita (2010).

Prérequis : connaissances de base en topologie algébrique ; pour étudier les théories cohomologiques pour les variétés algébriques, quelques éléments de géométrie algébrique serait utile.
(Si ce sujet s'avérait être trop ambitieux, on se concentrerait sur les aspects purement topologiques.)

Ce stage pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.