Master 2 MFA

Mémoire M2 : Les nombreux liens entre la théorie de système intégrables et les polynômes orthogonaux constituent un sujet de recherche très populaire depuis l'article de Moser "Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential -- an integrable system" (1975). Dans les dernières années, plusieurs nouveaux thématiques ont été traités, dont l'étude des système intégrables associés aux matrices CMV (Cantero, Moral, Velazquez), l'étude des équations de Painlevé discrètes, et l'extension de plusieurs résultats au cas des polynômes matriciels et des équations non commutatives.

Le but du mémoire est d'écrire une introduction au sujet qui comprenne anciens et nouveaux résultats, en utilisant comme point de départ la théorie des équations de Toda et d'Ablowitz-Ladik, leur intégrabilité et leur formulation en terme d'opérateurs de Lax. Ce mémoire, le cas échéant, pourra être le point de départ pour le sujet de thèse ci-dessous. Certains des thématiques indiqués pour la thèse peuvent être abordés déjà pendant le mémoire.

Thèse : Les équations de Painlevé constituent un des plus important types d'équations intégrables étudiés en physique et mathématique. En utilisant la formulation du problème de Riemann-Hilbert associé aux polynômes orthogonaux matriciels proposé par F. A. Grünbaum, M. D. de la Iglesia et A. Martinez-Finkelshtein (2012), on se propose de prouver que certains quantités associés à ces polynômes (les coefficients de la matrice de Jacobi associé) satisfont des versions non-commutatives des équations de Painlevé. Le but de la thèse, donc, c'est de trouver, après les cas étudiés par Retakh-Roubtsov (2012), Bertola-Cafasso (2012), Cafasso-de la Iglesia (2013), de nouveaux exemples de ce type d'équations.

On considère l’application du billard B dans un domaine borné et strictement convexe. On s’intéresse à l’application de Radon correspondante, qui à toute fonction continue f sur le bord associe la moyenne de f sur les orbites périodiques de B. Est-ce-que l’application de Radon est injective ? C’est un problème de la géométrie intégrale. Une réponse positive est donnée par G. Popov et P. Topalov dans le cas de l’ellipsoïde et plus généralement pour les billards de Liouville. Ce résultat est utilisé pour démontrer la rigidité spectrale du problème de Robin pour l’opérateur de Laplace sur l’ellipsoïde. La mémoire peut aboutir à une thèse sur la géométrie intégrale et rigidité spectrale.

À tout nœud K dans S^3, Ng (oui, il a vraiment un nom sans voyelles !) associe par des constructions de géométrie symplectique, une algèbre graduée HC*(K) (avec * \ge 0). La définition de HC*(K) utilise des techniques analytiques, mais son terme de dégré zero HC_0(K) peut être décrit de façon algébrique à partir du groupe fondamental du complémentaire du nœud. Le but du stage serai de comprendre la définition algébrique de HC_0(K) et comment d'elle on peut extraire beaucoup d'invariants classiques du nœud. La référence de base est « A topological introduction to knot contact homology » par Lenny Ng, qui peut être téléchargé à l'adresse http://arxiv.org/abs/1210.4803. Pour un lien entre cette théorie et la physique un étudiant motivé pourrait ainsi regarder « Notes on topologial strings and knot contact homology » par Tobias Ekholm, qui peut être téléchargé à l'adresse http://arxiv.org/abs/1312.0800 (cela ne fera partie du stage !).

Possible poursuite en thèse : Un homomorphisme d'algèbre de HC0(K) à l'anneau de base est dit une augmentation. Par un argument de Bourgeois et Chantraine (le second est MdC à Nantes), les différentes augmentations de HC*(K) peuvent être organisées dans une catégorie qui, à équivalence près, est un invariant du nœud. À ma connaissance c'est le premier exemple d'un invariant de nœuds à valeurs dans une catégorie. L'étudiant devra étudier l'effet des opérations standards en théorie de nœuds (cablage, satellite, mutation...) sur cette catégorie.

La cathégorie de Fukaya d'une surface de Riemann S est une catégorie dont les objets sont les courbes plongées homotopiquement non triviales et les morphismes sont les points d'intersection. Sur les morphismes de la catégorie de Fukaya il y a une infinité d'opérations mk qui, pour toutes (k+1)-uples d'objets L0, ..., Lk, donnent des applications mk: Hom(L0, L1) \otimes ... \otimes Hom (L{k-1}, Lk) \to Hom(L0, Lk) satisfaisant des relations d'associativité (on parle de catégorie A-infini).

Les opérations mk viennent des applications holomorphes du disque dans S qui envoient le bord sur les courbes Li. Par le théorème de l'application conforme, si les Li sont distincte, les operations mk viennent d'un compte de polygones immergés dans S et donc ont une nature combinatoire. Le but du stage est de comprendre la partie combinatoire de la catégorie de Fukaya d'une surface en suivant le chapitre 13 du livre « Fukaya Categories and Picard-Lefschetz theory » de Paul Seidel.

Possible poursuite en thèse : Quand il y a des courbes répétées, le théorème de l'application conforme de suffit plus parce que il y a des polygones constants qui se cachent dans les points d'intersection, mais par contre c'est probable que les opérations correspondent soit encore combinatoires. L'étudiant devrait calculer les opérations m_k en présence de courbes répétées. Cas par cas on peut faire apparaître ces polygones cachés par une perturbation des courbes (où, ce qui est équivalent) de l'équation de Cauchy-Riemann et donc il s'agirait de faire ces perturbations de façon cohérente.

Dans ce projet on établit le lien entre l'homologie de Hochschild et l'homologie de factorisation.

Références:
1 - J. Francis, Factorization homology of topological manifolds , preprint arXiv:1206.5522.
2 - G. Ginot, Notes on factorization algebras, factorization homology and applications

Possibilité de prolongement en thèse.

Le candidat étudiera une théorie homologique pour afin de décrire la dualité de Poincaré pour les variétés singulière.

Références :
[GMP1] Goresky-McPherson, Intersection Homology Theory, Topology 19, pp 135-162, doi:10.1016/0040-9383(80)90003-8
[GMP2] Goresky-McPherson, Intersection Homology II, Inv. Math. 71, pp 77-129

Ce sujet pourrait donner lieu à une poursuite en thèse.

Les nombreux liens entre la théorie de système intégrables et les polynômes orthogonaux constituent un sujet de recherche très populaire depuis l'article de Moser "Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential -- an integrable system" (1975). Dans les dernières années, plusieurs nouvelles thématiques ont été traitées, dont l'étude des système intégrables associés aux matrices CMV (Cantero, Moral, Velazquez), l'étude des équations de Painlevé discrètes, et l'extension de plusieurs résultats au cas des polynômes matriciels et des équations non commutatives.

Le but du mémoire est d'écrire une introduction au sujet qui comprenne anciens et nouveaux résultats, en utilisant comme point de départ la théorie des équations de Toda et d'Ablowitz-Ladik, leur intégrabilité et leur formulation en terme d'opérateurs de Lax. Ce mémoire, le cas échéant, pourra être le point de départ pour le sujet de thèse ci-dessous. Certains des thématiques indiqués pour la thèse peuvent être abordés déjà pendant le mémoire.

Possibilité de poursuite en thèse : Les équations de Painlevé constituent un des plus important types d'équations intégrables étudiés en physique et en mathématique. En utilisant la formulation du problème de Riemann-Hilbert associé aux polynômes orthogonaux matriciels proposé par F. A. Grünbaum, M. D. de la Iglesia et A. Martinez-Finkelshtein (2012), on se propose de prouver que certaines quantités associés à ces polynômes (les coefficients de la matrice de Jacobi associé) satisfont des versions non-commutatives des équations de Painlevé. Le but de la thèse, donc, est de trouver, après les cas étudiés par Retakh-Roubtsov (2012), Bertola-Cafasso (2012), Cafasso-de la Iglesia (2013), des nouvelles exemples de ce type d'équations.

Le stage consistera en une introduction au monde des équations hamiltoniennes, et des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes. Ce stage pourra déboucher sur une thèse (On peut aussi envisager directement la thèse).

Le principe est de développer des outils issus du monde des systèmes dynamiques de dimension finie (la mécanique céleste par exemple) pour le transposer dans le monde des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires (l'équation des ondes non linéaire par exemples). Le but est d'en déduire le comportement dynamique des solutions (la stabilité par exemple).

Pour le stage comme pour la thèse, je propose d'aller plus spécifiquement dans la direction de l'instabilité : le but serait de construire des solutions instables de certaines EDP Hamiltoniennes non linéaires en concrétisant les phénomènes de résonances présents dans la théorie des formes normales. Par exemple, pour un système couplant de manière non linéaire deux oscillateurs harmoniques (pendules) ayant des fréquences d'oscillation rationnellement dépendantes, il est simple de construire des solutions qui échangent périodiquement de l'énergie entre les deux oscillateurs (conséquence du couplage non linéaire). Le problème est de transposer ce genre de phénomène à la dimension infinie. Des cas ont déjà été traité, le stage consisterait à les comprendre. La thèse consisterait quant à elle à développer d'autres exemples dans le but de s'attaquer à quelques problèmes ouverts en EDP non linéaires comme les phénomènes de cascade ou de croissance de norme…

En pratique vous seriez intégré à notre petit groupe (B. Grébert (PR), E. Paturel (MCF), L. Thomann (MCF)) qui travaille sur les EDP hamiltoniennes au sein du Laboratoire Jean Leray.

Bibliographie : http://arxiv.org/abs/math/0604132 (cours donné lors d'une école d'été).

Le but du stage sera d'étudier les inégalités de dispersion. Dans l'espace Euclidien, ces inégalités sont bien connues pour le Laplacien. Elles peuvent être obtenues par deux approches : une estimation ponctuelle du noyau de l'opérateur de Schrödinger par un lemme de phase non-stationnaire (intégrales oscillantes) ou par l'obtention d'une formule exacte du noyau (par prolongement holomorphe du noyau de la chaleur).

Après avoir étudié ces inégalités sur l'espace Euclidien, nous verrons comment les adapter au cas d'une variété compacte (localement à travers des cartes, on se ramènera au cas Euclidien). Puis nous verrons aussi comment ces inégalités de dispersion impliquent des inégalités de Strichartz. Tout ce travail sera basé sur l'article suivant :

[1] N. Burq, P. G\'erard et N. Tzvetkov, Strichartz inequalities and the nonlinear Schrodinger equation on compact manifolds. Amer. J. Math. 126 (2004), no. 3, 569--605.

Ce sujet peut donner lieu à une thèse par la suite.