Master 2 MFA

Le but de ce stage est de comprendre la définition de la résonance quantique par les méthodes de dilatation ou distorsion analytiques, quelques propriétés de base, ainsi que l'étude semiclassique des résonances engendrées par une trajectoire périodique hyperbolique.
1. Aguilar-Combes, Commun. Math. Phys. 22(1971), 269-279 sur la définition de résonances
2. Helffer, Bernard; Martinez, André Comparaison entre les diverses notions de résonances. (French) Helv. Phys. Acta 60 (1987), no. 8, 992–1003.
3. Gérard-Sjöstrand, Commun. Math. Phys., 108(1987), 391-421, sur les résonances engendrées par une trajectoire périodique hyperbolique.

Ce stage concerne l'étude d'un modèle décrivant un écoulement compressible liquide-gaz avec changement de phase (voir description ici (lien)). Le sujet fait appel à la théorie des équations aux dérivées partielles hyperboliques, a la simulation numerique par methodes de type volumes finis et à la modelisation d'ecoulements compressibles avec changement de phase. Une poursuite en thèse sera envisagée selon la motivation et la qualité du travail fourni par l'étudiant durant la période de stage.

Le théorème de Kuranishi (1964) affirme que toute variété compacte complexe possède un espace de modules locaux. Convenablement interprété, il revient à montrer l'existence d'une section transverse locale de dimension finie à l'action d'un groupe sur un espace de Banach et sa démonstration repose in fine sur le théorème d'inversion locale et un peu de théorie des opérateurs différentiels elliptiques sur les variétés. Le but du mémoire est d'étudier les notions fondamentales en jeu dans l'énoncé et la preuve du théorème de Kuranishi. Selon les connaissances préalables de l'étudiant (en particulier en analyse complexe d'une part et sur les variétés différentiables et fibrés d'autre part), on se placera dans un cadre général, ou on étudiera une classe d'exemples concrète comme celles des tores de dimension arbitraire.

sujet de thèse possible en continuation du stage de M2 : Champs analytiques et espaces de modules globaux de surfaces de la classe VII_0.

En utilisant d'une part la théorie des champs et des groupoïdes analytiques, et d'autre part la théorie locale de Kuranishi, on peut construire pour chaque variété compacte complexe, sous une condition assez générale, un espace de modules globaux. Bien qu'explicite, cette construction est très difficile à mettre en œuvre sur des exemples concrets (non triviaux). C'est pourtant fondamental afin de mieux comprendre les propriétés de ces espaces. Dans cette thèse, on se propose de réaliser cette construction, et d'étudier finement les champs obtenus, pour certaines surfaces de la classe VII_0 de la classification d'Enriques-Kodaira.

Un groupe de Lie est une variété différentiable muni d'un produit de groupe qui est une application différentiable. Exemples se trouvent parmis les groupes de matrices, comme e.g. SO(3,R). Les algèbres de Lie sont une version linéarisée des groupes de Lie, par exemple, so(3,R), algèbre de Lie des matrices anti-symétrique avec le crochet de Lie donné par le commutateur, correspond à SO(3,R) par l'exponentielle des matrices exp: so(3,R) -> SO(3,R).

Il est utile de transférer des structures algébriques des algèbres de Lie aux groupes de Lie, et dans cet esprit, il s'agira dans ce mémoire d'intégrer les 2-cocycles d'algèbres de Lie en 2-cocycles de groupes de Lie. Pour cela, il y a d'un côté des méthodes simpliciales, mises au point par Karl-Hermann Neeb (voir arXiv:math/0402303), et d'un autre côté une méthode qui est récemment apparue dans un preprint de Dhérin-Wagemann (arXiv:1310.6854), basée sur la formule de Baker-Campbell-Hausdorff. Le but du mémoire est de comparer les deux méthodes et d'étudier et étendre la deuxième.

Ce stage pourrait éventuellement se poursuivre en thèse.

Le but de ce stage est de comprendre quelques idées de base dans la littérature existante pour étudier l'opérateur de Schrödinger $ -h^2 \Delta + V(x)$ avec un potentiel positif et à décroissance lente. Cet opérateur est plus elliptique que le Laplacien libre (sans potentiel) au sens qu'au niveau des symboles, on a $|\xi|^2 + V(x) >= |\xi|^2$ quand $V(x) >0$. A travers la lecture d'un ou deux articles sur ce thème, le ou la stagiaire devrait apprendre quelques techniques en analyse des EDP qui permettent d'obtenir dans certains cas des résultats meilleurs que le Laplacien libre.

Ce stage a pour perspectives d'explorer des problèmes ouverts liés à l'opérateur de Schrödinger non-autoadjoint avec un potentiel complexe ou à des Laplacien de Witten sur des variétés riemanniennes non compactes.

On considère l’application du billard B dans un domaine borné et strictement convexe. On s’intéresse à l’application de Radon correspondante, qui à toute fonction continue f sur le bord associe la moyenne de f sur les orbites périodiques de B. Est-ce-que l’application de Radon est injective ? C’est un problème de la géométrie intégrale. Une réponse positive est donnée par G. Popov et P. Topalov dans le cas de l’ellipsoïde et plus généralement pour les billards de Liouville. Ce résultat est utilisé pour démontrer la rigidité spectrale du problème de Robin pour l’opérateur de Laplace sur l’ellipsoïde. La mémoire peut aboutir à une thèse sur la géométrie intégrale et rigidité spectrale