Master 2 MFA

Le but de ce stage de Master 2 sera de se familiariser avec la théorie KAM classique (en dimension finie) et de commencer a réfléchir a son extension en dimension finie, ce qui pourra déboucher naturellement sur une thèse. Plus précisement le stage s'articulera de la manière suivante : (i) Un cours acceleré de mécanique Hamiltonienne (si nécessaire) qui pourra s'appuyer sur le livre de Wiggins. (ii) Une étude des notions plus spécialisées : tores invariants, petits diviseurs, résonances... (iii) Une démonstration complète du théoreme originel de Kolmogorov dans une version récente et tres élégante due a Hubbard et Ilyachenko. (iv) Une prémiere approche des problèmes de la dimension finie (Résonances, conditions de Melnikov, espaces fonctionnels...) autour du cas relativement simple de l'équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle. Aucun prérequis specifique n'est demandé hormis une base solide en analyse réelle et complexe et en analyse de Fourier.

Le but de ce sujet de mémoire est d'étudier un article maintenant classique de P. Degond, sur l'existence globale d'une système d'équations décrivant l'évolution d'un plasma, en dimension 2, appelé système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck. Il s'agit d'un système coupé de 2 équations, dont une non-linéaire. L'article de référence pour ce sujet est P. Degond, "global existence of smooth solutions for the vlasov-Fokker-Planck equation in 1 and 2 space dimension", Ann. ENS 1986.

L'étude des systèmes hyperboliques est motivée par de nombreuses applications physiques. Pour tous ces problèmes, la simulation numérique est un outil indispensable dans des contextes industriels. De telles simulations requièrent une bonne compréhension des conditions aux limites numériques qu'on est en droit d'imposer, soit pour coller à la modélisation physique soit parce que le domaine de simulation doit être tronqué artificiellement.

Le but du mémoire est d'aborder la théorie des problèmes aux limites pour les discrétisations de systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques. On étudiera dans un premier temps les discrétisations d'un tel système par des méthodes de différences finies en l'absence de frontières. On étudiera ensuite l'influence des conditions aux limites numériques lorsque le domaine de simulation est une demi-droite, le but de la théorie étant de caractériser la stabilité d'un schéma par une condition de type algébrique sur une famille de sous-espaces vectoriels. Cette condition est dûe, dans ce contexte, à Gustafsson, Kreiss et Sundstrom.

On considère des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec terme source raide, qui convergent en temps long vers un problème parabolique (par exemple les équations du Télégraphe, les équations d'Euler avec friction...). Du point de vue numérique, il est crucial que les schémas numériques considérés pour le système hyperbolique initial aient un comportement cohérent, c'est-à-dire qu'ils dégénèrent en des schémas consistants avec la limite diffusive. De tels schémas sont dits LTAP (Long Time Asymptotic Preserving). Les taux de convergence vers le régime diffusif sont souvent connus au niveau continu, mais restent en général inconnus pour les schémas numériques. Le stage proposé s'articulera en deux parties : une partie théorique où l'on cherchera à obtenir rigoureusement des taux de convergence vers la limite diffusive des schémas numériques pour des système "simples", et une partie numérique qui consistera à obtenir et comparer les taux de convergence de différents schémas appliqués à différents systèmes pour lesquels les taux de convergence au niveau continu sont connus.

La theorie de Variation de structure de Hodge (VSH) a ete initie par P. A. Griths dans les annee 1960. Elle est devenu et reste une partie tres importante dans la recherche dans la geometrie algebrique. Cette etude propose d'apprendre des bases de cette theorie:  le domaine de periodes;  l'application de periodes;  le dierentiel de l'application de periodes. L'etude continuera avec description cohomologique du dierentiel de l'application de periodes et l'utilisation de cette description pour aborder le probleme de Torelli. Ce probleme demande s'il est possible de reconstruire une variete projective lisse a partir de sa structure de Hodge. Il a pour l'origine le theoreme de Torelli pour les courbes projectives. On re-demontrera ce resultat en utilisant la description cohomologique du dierentiel de l'application de periodes et des invariants associes avec cette description, i.e. des invariants innitesimaux de VSH (IVSH). On se propose d'utiliser IVSH pour etudier les surfaces ayant le diviseur canonique tres ample. Ainsi on etablira une relation enter les propriete du dierentiel de l'application de periodes et la geometrie de surfaces canoniques.

Le but du stage est de maîtriser la notion de K-stabilité qui apparaît dans la conjecture de Tian-Yau-Donaldon. Une attention particulière sera portée aux célèbre exemple de Tian, qui sont des variétés de Fano K-instable et ne peuvent par conséquent pas posséder de métrique de Kähler-Einstein.