Séminaire de physique mathématique (archives)

The HKT manifolds (HKT stands for Hyper-Kahler with torsion) are the complex manifolds of dimension 4n which admit a triple of complex structures that satisfy the quaternionic algebra and are covariantly constant with respect to one and the same torsionful Bismut connection. In contrast to compact hyper-Kahler manifolds that are rather rare and dicult to construct, compact HKT manifolds are rather abundant. In particular, many group manifolds G and homogeneous spaces G=H of dimension 4n enjoy HKT geometry.
I present a new simple proof of this fact based on the observation that the dierent complex structures are interrelated by automorphisms of the Lie algebra g. (Based on [A.S., Nucl. Phys. B 957 (2020) 115052].)

Dans cet exposé, on s'intéressera à l'étude de certaines propriétés spectrales des opérateurs de Kramers-Fokker-Planck qu'on notera KV. Je parlerai en particulier des résultats issus d’un travail en commun avec Francis Nier et Joe Viola sur le cas des opérateurs KV avec potentiel polynomial V de degré inférieur à 3. Je présenterai aussi mes derniers résultats sur un critère de compacité de la résolvante de K_V dans un cas plus général qui concerne une certaine classe de polynômes de degré supérieur à 2.

Certaines théories des champs classiques bidimensionnelles, où les champs prennent leurs valeurs dans un groupe ou un espace symétrique, possèdent la propriété d’intégrabilité. Les équations du mouvement prennent une forme particulière, dite forme de Lax, et l’on peut définir une infinité de charges conservées en involution par rapport au crochet de Poisson. C. Klimcik a proposé en 2002 une déformation de certains de ces modèles qui préserve l’intégrabilité. On donnera une description de ces modèles et de leurs généralisations, en particulier la déformation d’un modèle associé à la propagation d’une supercorde.

We consider non-interacting particles subject to an external electric potential $V$ and a self-generated magnetic field $B$. The total energy includes the magnetic field energy $\beta \int B^2$ and we minimize over all particle states and magnetic vector potentials (of finite field energy). We estimate the total ground state energy of the system in the semiclassical limit $h \rightarrow 0_{+}$. The relevant parameter measuring the field strength in the semiclassical limit is $\beta h$. We prove that when $\beta h \rightarrow +\infty$ the effect of the self-generated magnetic field is negligible in the sense that we recover the standard, non-magnetic Weyl asymptotics in this case.

This is joint work with L. Erd\”{o}s and J. P. Solovej.

La quantification de Berezin-Toeplitz est une généralisation des travaux de Bargmann sur les oscillateurs harmoniques quantiques. Elle permet de quantifier des variétés complexes compactes, et permet en particulier de traiter les systèmes de spins dans la limite semi-classique. Dans cet exposé, nous présenterons des travaux récents concernant des critères de localisation des états fondamentaux en régime semiclassique dans le cadre de la quantification de Berezin-Toeplitz, un problème déjà traité par Helffer et Sjöstrand pour les opérateurs de Schrödinger, et qui valident une heuristique énoncée par Douçot concernant les systèmes de spins frustrés.

This is my point of view on the history of the gravitational science. Starting from Aristotle with his (failured) attempts to understand the ocean tides, through the enormous efforts by Copernicus, Galileo and Kepler to Hook, then to Newton with his self-consistent theory of the universal gravity and, finally, to the Einstein's revolutionary relativistic gravitational theory (the role of Hilbert and Grossmann is also stressed). the new possible extensions began with the work by Sakharov in 1967. At the end I briefly mention some modern (sometimes they are actually old) ideas.

Dans cet exposé je donnerai une description géométrique de la méthode ``énergie-moment'' pour la démonstration de la stabilité orbitale des èquilibres relatifs de systèmes dynamiques Hamiltoniens en dimension infinie, en présence de symétries multi-dimensionnelles. Je mettrai en évidence l'interaction entre l'analyse fonctionnelle et la géométrie symplectique dans ce contexte. La théorie sera appliquée à la stabilité orbitale des ondes planes pour un système d'équations de Schrödinger non-linéaires sur le tore. (Travail en collaboration avec S. Rota Nodari (Dijon) et F. Genoud (Delft)

On décrit, en limite semiclassique, l'évolution des états cohérents et des valeurs moyennes des observables usuels (champ électromagnétique, spins, nombre de photons), et l'état fondamental, pour un modèle de l'interaction de spins immobiles et de photons, en présence d'un champ magnétique constant.

Abstract: String Theory is the most promising candidate for a theory describing all fundamental physics. Its postulate that everything in the universe is made out of tiny vibrating strings reconciles the two main pillars of modern physics: Einstein’s theory of General Relativity and quantum theory. This allows for the first time to address questions in both quantum gravity and particle physics in one unified framework. We will discuss the physical consequences and predictions of String Theory. String Theory provides new concepts and an unexpected perspective on physics. One of its key insights is the translation of physical questions to mathematics, including geometry and number theory.