Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Symplectic fillings of lens spaces were classified by McDuff and Lisca in the early 2000s. A special class of these fillings arise as fillings of lens spaces L(p^2,pq-1), which admit symplectic fillings with vanishing second Betti numbers. In particular, they are symplectic models for rational homology balls B_{p,q}. We study symplectic embeddings of these models into CP2. We show that such embeddings exist if and only if p is a "Markov number" by "elementary" methods. This is joint work with N. Adaloglou, J. Brendel, J. Evans, and F. Schlenk.

Given an isolated singular point in a complex surface, its link is the intersection of the surface with a small sphere centered at the singular point. The link is a smooth 3-manifold that reflects the topology of the singularity. The link has a natural contact structure, and one can ask questions about its contact and symplectic topology, for example, try to describe symplectic 4-manifolds that the link can bound. A family of symplectic (even Stein) fillings is provided by possible smoothings of the singularity; it is then interesting to compare algebro-geometric smoothings and general Stein fillings. We will discuss this question for sandwiched singularities, a subclass of rational singularities where smoothings are well understood due to de Jong-van Straten work from 1990s: a dimensional reduction allows to reconstruct all Milnor fibers from deformations of associated singular plane curve germs. We build a symplectic analog of this theory to describe Stein fillings in terms of certain immersed disk arrangements in a very similar way. However, we also show that this method allows to build Stein fillings whose topology is different from that of any Milnor fibers.

The talk is based on joint work with Starkston and Beke-Starkston.

A central question in the topology of distributions is whether there exist maximally non-integrable distributions beyond contact structures for which the h-principle fails, i.e. whether there are genuinely new invariants not dictated by algebraic topology. Most known classes instead satisfy strong flexibility results and are classified by their obvious homotopical data. In this talk I will briefly survey this landscape and then present a recent joint result with Álvaro del Pino and Eduardo Fernández giving a first example of rigidity beyond the contact world: a class of fat (corank- 2) distributions that naturally generalise contact structures, together with their adapted submanifolds, the prelegendrians. Using a canonical contactisation, we construct families of prelegendrians detected by contact-topological invariants, thereby showing that the ℎ h-principle fails in this setting.

In dimensions greater than four, the classification of smooth manifolds is an unsolvable problem, but manifolds can still be classified up to cobordism.

From this perspective, Liouville cobordisms provide a powerful tool for studying contact manifolds in high dimensions. In this talk, I will explain how Liouville cobordisms can be used to construct exact locally conformally symplectic (LCS) manifolds, in particular the LCS mapping tori associated with a contactomorphism. I will then use this construction to study the isomorphism classes of LCS mapping tori and explore their connections with the contact mapping class group.

Quels espaces lenticulaires admettent un plongement lisse et injectif dans le plan projectif complexe ? Combien peut-on en plonger, tels qu'il soient deux à deux disjoints ? La question vient de la géométrie algébrique complexe, où Hacking et Prokhorov donnent une réponse complète en termes de triplets de Markov. Le même résultat est valable en géométrie symplectique, comme montré par Evans et Smith. Topologiquement, la situation est plus riche, et des exemples non-symplectiques ont été donnés par Lisca et Parma. Dans cet exposé, je parlerai de nouvelles obstructions et constructions. Il s'agit d'un travail commun avec Brendan Owens.

Fibered links are those whose complement admits a fibration over the circle. They admit a simple description in terms of an open book, consisting of a fiber surface together with a self-diffeomorphism (called the monodromy), which is the return map of the fibration. This structure allows us to prove several results for fibered links. In this talk I will explain how to extend the concept of monodromy to all links, and show that it can be used to extend previous results to non-fibered links.

Les arrangements de droites dans le plan projectif — autrement dit, les unions finies de droites — apparaissent dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment en topologie, en algèbre et en combinatoire. De nombreuses questions restent cependant ouvertes. Par exemple, la classification complète des arrangements complexes sans points doubles demeure inconnue, tout comme la liste exhaustive des arrangements simpliciaux réels, où les régions délimitées par les droites sont exclusivement triangulaires.

Dans l'idée de produire de nouveaux arrangements présentant des propriétés remarquables, nous introduisons des opérateurs agissant sur l’ensemble des arrangements de droites du plan.

Au cours de cet exposé, je présenterai des espaces de modules d’arrangements de droites invariants sous l’action de tels opérateurs. En particulier, nous verrons que la surface elliptique K1(n), située au-dessus de la courbe elliptique modulaire X1(n) (laquelle paramètre les courbes elliptiques munies d’un point de torsion d’ordre n > 3) peut également être interprétée comme la compactification de l’espace de modules de certains arrangements de droites.

Nous examinerons ensuite l’existence d’un opérateur agissant sur ces arrangements et, par conséquent, sur la surface elliptique K_1(n), et nous décrirons en détail son action.

Travail en collaboration avec Lukas Kühne (Bielefeld).

Dans un travail en collaboration avec Georgios Dimitroglou Rizell et Paolo Ghiggini nous associons à une sous-variété lagrangienne compacte L d'une variété de Weinstein W une représentation d'une algèbre différentielle graduée associée à W. Cette représentation a deux propriétés : son degré est caractérisé par l'intersection de la lagrangienne avec les co-âmes lagrangiennes de W et son espace de morphismes (dérivé) calcule l'homologie singulière de L. L'outil principal pour effectuer ce calcul est un triangle exact en homologie de Cthulhu que nous détaillerons dans cet exposé. Les définitions de base ainsi que le contexte dans lequel cette construction peut-être intéressante seront rappelés au préalable. Si le temps le permet, nous verrons comment dans un travail en cours nous plaçons cette construction dans un contexte plus catégorique.

In this talk, we show that if the image of an embedded Legendrian in a cosphere bundle under a contact homeomorphism is smooth, then it remains Legendrian and its Maslov class is preserved. Our proof is based on the microlocal sheaf theory, using the continuity of the interleaving distance of sheaves with respect to the C0-distance. This is joint work in preparation with Tomohiro Asano, Christopher Kuo, and Wenyuan Li.

In this talk, I will explain how to relate the Novikov ring and microlocal sheaf theory based on the works of Tamarkin and Vaintrob. This relation has been successfully applied to the irregular Riemann-Hilbert correspondence and symplectic geometry, and recently, Scholze revealed certain potential applications of the relation in analytic geometry. Surprisingly, we notice that the almost ring theory invented by Faltings for p-adic Hodge theory plays a central role in the related construction. After that, I will explain some applications of the idea in symplectic geometry.

This talk is based on a joint work with Tatsuki Kuwagaki.