Séminaire de topologie, géométrie et algèbre

Des modèles algébriques pour les types d'homotopie rationnels ont été proposés par Quillen en 1969 puis Sullivan en 1977. Le modèle de Quillen, utilisant les algèbres de Lie, permet de décrire les types d'homotopie rationnels simplement connexes, tandis que le modèle de Sullivan, utilisant les algèbres commutatives, décrit les types d’homotopie finis et nilpotents. Plus récemment, Buijs, Félix, Murillo et Tanré d’une part et Robert-Nicoud et Vallette d’autre part, ont étendu le modèle de Quillen au cas non-simplement connexe. Dans cet exposé, on présentera une théorie des invariants de Postnikov pour les algèbres de Lie qui est compatible avec le foncteur d’intégration de Robert-Nicoud et Vallette. On en déduira une intégration de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg en la cohomologie d’espaces à coefficients locaux. Si le temps le permet, on exposera la motivation initiale pour construire une telle théorie des invariants de Postnikov, à savoir, une conjecture proposée par Félix et Tanré, qui relie les modèles en homotopie rationnelle et le modèle de Loday pour les n-types d’homotopie, i.e. les Cat^n-groupes. Si le temps le permet également, nous tenterons d’expliquer en quoi une théorie des invariants de Postnikov peut permettre d’axiomatiser les foncteurs d’intégrations.