Habilitation à diriger des recherches

Les premiers travaux que je présente ici developpent des méthodes asymptotiques qui permettent d'étudier une “continuité du spectre” pour l'opérateur de Laplace agissant sur les fonctions ou les formes différentielles d'une variété compacte: – l'influence d'excision de petits voisinages tubulaires (avec diverses conditions au bord) – l'influence d'ajout d'anses fines Les résultats donnent aussi des asymptotiques des formes propres. Il s'appliquent à l'étude du spectre continu sur des variétés périodiques. Les travaux du second groupe concernent les opérateurs pseudo-différentiels et le calcul semi-classique : – comparaison des spectres de Dirichlet et Neumann pour l'opérateur d'élasticité – localisation semi-classique du spectre joint de plusieurs opérateurs pseudo-différentiels qui commutent.

Ce travail est divisé en deux axes de recherches. Le premier axe concerne l'étude de quelques systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires issus de la modélisation macroscopique des composants semi-conducteurs. Le deuxième axe de recherche est consacré à l'étude de quelques problèmes d'identification. Nous nous intéressons en particulier à deux types de problèmes d'identification. Le premier concerne la reconstruction des données sur le bord pour des problèmes elliptiques. Le deuxième type de problèmes auquel nous nous sommes intéressés est celui de l'identification des frontières dans des problèmes gouvernés par des équations elliptiques.

mots-clés : semi-conducteur – dérive-diffusion – problèmes inverses – problèmes à frontière libre – problèmes d'identification – optimisation de forme – méthodes itératives – éléments finis – élélment de frontière – résolution des systèmes linéaires – méthodes de quasi-Newton

L'étude mathématique des modèles et des méthodes de calcul en électrophysiologie des tissus cardiaques constitue la principale motivation de mes travaux de recherche en mathématiques appliquées. Ces travaux ont trouvé des applications en imagerie médicale et en bioingénierie grâce aux simulations numériques que nous avons rendues possibles. Les équations d'électrocardiologie, de type réaction-diffusion dégénérée, peuvent être discrétisées efficacement par des méthodes de volumes finis. Ce mémoire synthétise l'ensemble des résultats de mes travaux dans ces domaines, c'est à dire : analyse des équations aux dérivées partielles d'électrocardiologie, expérimentation et applications numériques d'une part; introduction de nouveaux schémas et analyse numérique de méthodes de volumes finis pour des problèmes de diffusion anisotrope, de convection-diffusion et des systèmes hyperboliques linéaires d'autre part. Ces travaux visent une meilleure compréhension scientifique des équations de l'électrophysiologie et plus généralement du fonctionnement électrique d'un tissu cardiaque ou du coeur entier.