Colloquium

Titre : From one integral system to another : solving two inverse spectral problems on the Hardy space

Nom de l'orateur : Patrick Gérard

Établissement de l'orateur : LMO, Université Paris-Sud

Lieu de l'exposé : Amphithéâtre Pasteur, bâtiment 2

Date et heure de l'exposé : 24 avril 2019 - 17h

Résumé :
At the starting point of this talk are two integrable Hamiltonian systems in infinite space dimension. The first one is the Benjamin–Ono equation and was introduced about forty years ago in Fluid Mechanics. The second one is the Szegö equation and was introduced about ten years ago as a model of a non dispersive Hamiltonian evolution. Both systems admit a Lax pair structure, involving operators on the Hardy space of the disk enjoying special commuting properties with the shift operator : Hankel operators and Toeplitz operators. I will focus on the inverse spectral problems for these Lax operators, on the similarities in the strategy for solving them and on the dramatically different outputs.

Titre : Le problème du sous-espace invariant

Nom de l'orateur : Sophie Grivaux

Établissement de l'orateur : CNRS, Laboratoire Paul Painlevé, Université de Lille

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 21 mars 2019 - 17h

Résumé :
Le problème du sous-espace invariant est l’un des problèmes ouverts les plus connus en analyse fonctionnelle, et il a fait l’objet de nombreuses spéculations.
Il s’énonce ainsi :
Etant donné un opérateur linéaire continu T agissant sur un espace de Banach (réel ou complexe) séparable de dimension infinie X, est-il toujours vrai qu’il existe un sous-espace M de X, distinct de 0 et X, qui soit invariant par T ?
Des contre-exemples sont connus sur de nombreux espaces non-réflexifs, en particulier grâce aux travaux pionniers d’Enflo et Read, et il découle d’une construction récente d’Argyros et Haydon qu’il existe des espaces X sur lesquels tout opérateur a un sous-espace invariant non-trivial. Mais le problème reste obstinément ouvert dans le cadre Hilbertien, et plus généralement dans le cadre réflexif.
Je présenterai quelques approches récentes de ce problème, en tâchant de mettre en lumière la nature des difficultés rencontrées.

Titre : Une composition autour de trois thèmes en analyse harmonique. (exposé en anglais)

Nom de l'orateur : Victor Lie

Établissement de l'orateur : Purdue University

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 21 février 2019 - 17h

Résumé : Les opérateurs classiques de l’analyse harmonique (fonction maximale, transformée de Hilbert), les opérateurs de type Carleson (introduits par L. Carleson dans sa preuve de la conjecture de Lusin sur la convergence ponctuelle des séries de Fourier) et les opérateurs bilinéaires typiques (la transformée bilinéaire de Hilbert et sa version maximale) sont étudiés en présence de courbure. Plus exactement, on regardera le comportement de ces opérateurs le long d’une famille de courbes.
Partiellement motivé par la conjecture de Zygmund sur la différentiation le long d’un champ vectoriel lipschitzien ainsi que par l’étude des EDP paraboliques à coefficients constants (voir le travail de F. Jones, E. Faber, M. Riviere), on présentera des conditions assez minimales sur la famille de courbes pour que ces opérateurs soient bornés. Ce cadre donne une vue d’ensemble sur ces opérateurs, et permet de retrouver certains résultats de Stein et Wainger sur des intégrales oscillantes en présence de courbure sans exclure le cas le plus difficile, qui est celui de l’opérateur de Carleson polynomial.

Titre : Contrôle d'équations différentielles nonlinéaires.

Nom de l'orateur : Karine Beauchard

Établissement de l'orateur : ENS Rennes

Lieu de l'exposé : Salle Eole

Date et heure de l'exposé : 13 décembre 2018 - 17h

Après avoir rappelé des résultats classiques de nature géométrique, liant la contrôlabilité des systèmes différentiels et les crochets de Lie des champs de vecteurs impliqués dans l’équation, nous présenterons un résultat récent d’alternative quadratique, de nature plus analytique, qui souligne l’importance du cadre fonctionnel utilisé pour les contrôles (selon le cadre fonctionnel utilisé, un même système peut être localement contrôlable, ou ne pas être localement contrôlable, même si l’état vit dans un espace de dimension finie).

Titre : L'espace des fréquences du groupe d'Heisenberg

Nom de l'orateur : Jean-Yves Chemin

Établissement de l'orateur : Sorbonne Université

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 29 novembre 2018 - 17h

Affiche

Titre : Un mathématicien peut-il utiliser un logiciel de vérification de démonstration?

Nom de l'orateur : Patrick Massot

Établissement de l'orateur : Université Paris-Sud

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 18 octobre 2018 - 17h15

Les logiciels de vérification de démonstrations existent depuis la fin des années 60 et ont fait de grands progrès ces dernières années. On pourrait imaginer que les mathématiciens les utilisent, que ce soit à petite échelle ou pour vérifier des théories très techniques, ou encore pour enseigner la notion de démonstration. Cependant, presque aucun mathématicien ne le fait. On sait depuis la vérification en 2012 du théorème de Feit-Thompson que, entre les mains d’informathématiciens experts, ces logiciels peuvent vérifier une démonstration longue et compliquée mais ne faisant intervenir que des objets simples à définir. Dans cet exposé, je rendrai compte d’expériences en cours où des mathématiciens, sans formation en informatique théorique, essayent de manipuler des objets mathématiques sophistiqués dans le logiciel de vérification Lean.

Titre : Nouvelle approche dans l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires.

Nom de l'orateur : Rémi Abgrall

Établissement de l'orateur : Institut für Mathematik, Universität Zürich

Lieu de l'exposé : Salle Eole

Date et heure de l'exposé : 27 septembre 2018 - 17h00

Dans cet exposé, je m’intéresse à l’approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires. Il est bien connu que la solution générique du problème de Cauchy pour un problème de ce type n’est même pas continue, en général, d’où la notion de solution faible. Il faut aussi rajouter un principe de sélection au moyen d’entropies, et donc des inégalités supplémentaires. Du point de vue numérique, la notion de solution faible se traduit, grâce au théorème de LaxWendroff (1960), par la notion de flux qui donne aussi la forme que doit posséder un schéma numérique pour fournir des solutions convergeant vers une solution faible. Les contraintes d’entropies se traduisent «simplement» par des contraintes sur des flux liés à l’entropie. Depuis longtemps, la recherche se résume à construire des schémas, donc des flux, de plus en plus robustes, précis, ....
Je revisiterai la notion de conservation, pour introduire une variante un peu plus générale qui permettra de démontrer un théorème à la LaxWendroff, et de montrer que tous les schémas classiques, éléments finis compris, ont une forme par flux, avec une expression analytique des flux.
Je montrerai aussi qu’elle permet de construire, à partir d’un schéma quelconque, un schéma, toujours localement conservatif, mais qui satisfait d’autres relations (ou inégalités) de conservation, l’exemple typique étant celui de l’entropie.

Titre : Méthodes non locales pour le traitement d'images et de vidéos".

Nom de l'orateur : Julie Delon

Établissement de l'orateur : Université Paris-Descartes

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 21 juin 2018 - 17h00

Depuis une douzaine d’années, les modèles utilisant des patchs (ou imagettes) pour traiter les images ont conduit à des améliorations très significatives aussi bien dans la résolution de problèmes inverses de restauration (débruitage, inpainting, interpolation d’images) que dans des problèmes de synthèse ou d’édition d’images. Ils soulèvent des questions passionnantes touchant de nombreuses facettes des mathématiques appliquées (statistique, optimisation, géométrie), et nécessitent des méthodes numériques efficaces pour les résoudre. Je présenterai dans cet exposé quelques contributions à ce domaine.

Titre : Etat de l’art sur les « solutions à la Leray » pour les équations de Navier-Stokes compressibles.

Nom de l'orateur : Didier Bresch

Établissement de l'orateur : Université Savoie-Mont-Blanc

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 3 mai 2018 - 17h00

Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d’un fluide. Dans son célèbre article « Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace » publié dans Acta Mathematica en 1934, Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu’est une solution irrégulière du système, et montre qu’il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans leur version incompressible et homogène (densité constante). Dans cette balade autour des équations de Navier-Stokes, j’essaierai de dresser un état de l’art sur les « solutions à la Leray ». Nous verrons notamment que nous sommes bien loin d’une théorie générale sur les versions compressibles et que de nombreux problèmes ouverts importants perdurent toujours même si des résultats fondateurs ont été obtenus ces 20 dernières années.

Titre : Dix ans de systèmes semi-toriques.

Nom de l'orateur : San Vu Ngoc

Établissement de l'orateur : IRMAR (Université de Rennes)

Lieu de l'exposé : Salle des séminaires

Date et heure de l'exposé : 15 mars 2018 - 17h00

Les systèmes toriques (ou variétés toriques) sont bien connus en géométries algébrique et symplectique, en particulier depuis les travaux d’Atiyah, Guillemin-Sternberg et Delzant dans les années 1980. Ils correspondent à des systèmes hamiltoniens intégrables dont tous les flots sont périodiques. Mais ce sont des objets trop rigides pour la mécanique (classique ou quantique). Il y a une dizaine d’années, une timide généralisation a vu le jour : les systèmes semi-toriques, qui s’est finalement révélée très riche et a donné lieu à de nombreuses applications, de la topologie à l’analyse microlocale et la théorie spectrale. J’essaierai de faire le point, et d’évoquer les pistes de développements futurs.