Séminaire de géométrie (archives)

L’intégrale de la courbure moyenne au carré est un invariant conforme des surfaces ré- introduit par Willmore en 1965 dont l’étude eut une influence considérable sur l’analyse géométrique et en particulier sur les surfaces minimales ces dernières années. D’autre part, l’énergie de Loewner introduite par Yilin Wang en 2015 est une énergie invariante conforme des courbes planes, qui est liée aux processus SLE et à la classe de Weil-Petersson apparaissant en théorie de Teichmüller (universelle). Dans cet exposé, après une courte introduction historique, nous parlerons de récents développements liant l’énergie de Willmore et l’énergie de Loewner et ferons mention de nombreux problèmes ouverts. Travail en collaboration avec Yilin Wang (IHÉS)

Le point de départ de l'exposé sera une question à l'interface des probabilités et de la géométrie : "étant donnée une variété riemannienne, existe-t-il une géométrie aléatoire naturelle sur cette variété?". Dans le cas de la dimension deux, on sait donné une réponse assez complète à la question si l'on impose un critère d'invariance conforme dans la définition de "naturelle" grâce à des travaux sur la 'Liouville quantum gravity' par de nombreux auteurs. Je présenterai mes travaux récents avec L. Dello Schiavo, E. Kopfer et K-T. Sturm qui donnent des réponses partielles à la question en dimension paire ≥ 2 sur des variétés compactes ainsi que les nombreuses questions. Je me concentrerai, dans cet exposé, sur les aspects géométriques de ce travail.

In this talk I will present the theory of tamed spaces, which are Dirichlet spaces with distribution-valued lower bounds on the Ricci curvature seen from an Eulerian point of view. The approach is based on the analysis of singular perturbations of Dirichlet forms by a broad class of distributions. The distributional Ricci bound is then formulated in terms of an integrated version of the Bochner inequality generalizing the well-known Bakry-Emery curvature-dimension condition. Among other things we show the equivalence of distributional Ricci bounds to gradient estimates for the heat semigroup as well as consequences in terms of functional inequalities.

Je présente une notion de configuration test et de stabilité (pour la fonctionnelle de Ding) pour des variétés dont le fibré anticanonique est gros, c'est-à-dire quand les sections des puissances de -K_X ont une croissance maximale, mais peuvent avoir des points-base. Pour ce faire, j'utilise le formalisme des espaces de Zariski-Riemann. J'explique ensuite comment cette notion de stabilité est liée à l'existence de métriques Kähler--Einstein singulières. Ces résultats sont basés sur un travail en commun avec Ruadhaí Dervan.

Depuis un résultat d'Hilbert-Effimov, nous savons que nous ne pouvons pas plonger isométriquement le plan hyperbolique dans l'espace euclidien de dimension 3 de manière C^2. En revanche, le théorème de plongement isométrique C^1 de Nash-Kuiper établit l'existence d'une infinité de tels plongements. Dans cet exposé nous verrons la construction explicite d'un plongement isométrique du disque de Poincaré, et nous donnerons des résultats sur le "bord à l'infini" de ce type de plongement. Ce travail a été fait en collaboration avec l'équipe Hévéa.

Une variété Riemannienne analytique réelle, compacte, connexe, de courbure négative et à bord analytique réel strictement convexe est déterminée à isométrie près par son application de diffusion. Dans cet exposé, je discuterai ce résultat, puis j'expliquerai comment le prouver en utilisant le principe du prolongement analytique. Il faut pour cela savoir que certains objets sont analytiques réels, ce qui est obtenu par des méthodes d'analyse microlocal en régularité analytique. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau et Colin Guillarmou.

In the language of $L^\infty$ modules proposed by Gigli, we introduce a first order calculus on a topological Lusin measure space $(M, m)$ arrying a quasi-regular, strongly local Dirichlet form $E$. Furthermore, we develop a second order calculus if $(M, E, m)$ is tamed by a signed measure in the extended Kato class in the sense of Erbar, Rigoni, Sturm and Tamanini. This allows us to define e.g. Hessians, covariant and exterior derivatives, and Ricci curvature.

La conjecture de Yau--Tian--Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques.

On introduit une nouvelle méthode pour établir l’estimation uniforme C^0 des solutions aux équations de Monge-Ampère complexes. Notre approche est basée sur une utilisation raffinée des enveloppes plurisousharmoniques. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj.

Les variétés de Vaisman sont des variétés complexes admettant des métriques localement conformément kähleriennes dont la forme de Lee est parallèle. La géométrie de ces variétés est en proche relation avec la géométrie kählerienne, car les variétés de Vaisman admettent une foliation transversalement kählerienne naturelle. Cependent ces variétés ne vérifient pas le lemme de dd^c, il est donc intéressant d'étudier leur cohomologie de Bott-Chern, qui devient un invariant raffiné. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut exprimer cette cohomologie par rapport à la cohomologie basique de la foliation, et en particulier déduire que les nombres de Bott-Chern et les nombres de Dolbeaut se déterminent réciproquement.