Séminaire de géométrie (archives)

La croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur une surface hyperbolique a été étudiée depuis Huber (1961) et a des applications dans plusieurs sujets en mathématiques. Dans sa thèse, Mirzakhani a démontré que pour une surface hyperbolique orientable d'aire finie, le nombre de géodésiques fermées, simples, de longueur au plus L est équivalent à un monôme en L, dont le degré dépend seulement de la caractéristique d'Euler de la surface. Dans le contexte non-orientable, la situation est très différente. Une des principales différences dans ce cas-là est le comportement de l'action du mapping class group sur l'espace des laminations mesurées.

Le recherche de métriques de Kähler canoniques sur les variétés projectives peut être considérée comme une tentative d'extension du théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann en toute dimension. Cette recherche a connu d'importants progrès ces dernières années, culminant dans ce qui s'appelle aujourd'hui le programme de Yau-Tian-Donaldson. Dans cet exposé, je vais expliquer le rôle joué par les méthodes de quantification au sein de ce programme, et comment elles peuvent être améliorées par une étude semi-classique du bruit quantique de la quantification de Berezin-Toeplitz. Cet exposé est basé sur un projet en commun avec Leonid Polterovich.

I will present a geometric approach to the theory of integrability by hydrodynamic reductions to establish an equivalence, for a large class of quasilinear systems, between hydrodynamic integrability and the existence of nets compatible with the geometry induced on the codomain of the system. This unifies and extends known results for three subclasses of such systems. The generalization is obtained by studying the algebraic geometry of the characteristic correspondence of the system, and by introducing a generalized notion of conjugate nets.

Une variété riemannienne à courbure de Ricci minorée vérifie plusieurs propriétés analytico-géométriques bien connues. Dans nos travaux récents avec Gilles Carron et Ilaria Mondello, nous travaillons sous une hypothèse strictement plus faible qu’une minoration de la courbure de Ricci: nous demandons que la partie négative du tenseur de Ricci soit contrôlée en un sens faible impliquant le noyau de la chaleur. Nous formalisons cette hypothèse à l’aide d’une quantité appelée constante de Kato. Je présenterai nos deux résultats concernant la stabilité des variétés fermées à constante de Kato petite et à premier nombre de Betti égal à la dimension. Le premier dit qu’une telle variété est Gromov-Hausdorff proche d’un tore plat.

Dans cet exposé, on s’intéresse à une variété kählerienne compacte X admettant une structure de Poisson holomorphe. Sous l’hypothèse de l’existence d’une feuille compacte L à groupe fondamental fini du feuilletage de Poisson associé, on peut montrer qu’a revêtement fini près, X est un produit d’une variété symplectique (en l’occurence le revêtement universel de L) et d’une variété de Poisson. Ce résultat peut être vu comme une version globale du theorème de décomposition de Weinstein. Travail en commun avec Stéphane Druel, Jorge Pereira et Brent Pym.

La notion de stabilité est centrale dans le problème de classification des fibrés holomorphes sur une variété projective donnée. On s'intéresse dans cet exposé au comportement de la stabilité sous pullback par un morphisme entre variétés. Dans le cas d'une immersion générique de grand degré, un théorème de Mehta et Ramanathan stipule que le pullback d'un fibré (semi)stable reste semi(stable). On étudiera alors le cas des submersions, dans deux contextes. Le premier, lisse, via des méthodes de géométrie différentielle et l'étude des connexions Hermite-Yang-Mills (en collaboration avec Lars Martin Sektnan). Le deuxième, singulier et torique, via des méthodes combinatoires et algébriques (en collaboration avec Achim Napame)

This line of studies was initiated by Yasha Eliashberg. The central object of this talk is a piecewise constant Withney symplectic form on a combinatorial manifold. Basic questions are whether such symplectic structures satisfy Darboux and can be used to triangulate smooth symplectic manifolds. Some answers will be provided. This is a joint work with Julie Distexhe.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson porte sur l'équivalence entre existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante sur une variété polarisée, et une condition algébro-géométrique de K-stabilité. Elle a été résolue dans le cas des variétés anticanoniquement polarisées par Chen-Donaldson-Sun, et dans le cas des surfaces toriques par Donaldson.