Séminaire de géométrie (archives)

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques.

Peut-on apprivoiser des systèmes dynamiques simples (ou de "basse complexité") ?

Notre travail avec Serge Cantat tourne explore cette question dans le cadre des difféomorphismes holomorphes des variétés kähleriennes complexes. Nous l'approchons sous différentes angles : automorphismes sans orbite périodique, équicontinuité, comportement des dérivées des itérations, automorphismes d'entropie topologique nulle...

Je montrerai comment on peut construire des surfaces lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment. La géométrie associée à cette application moment a la propriété de s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes). Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.

Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.

J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.