Séminaire de géométrie (archives)

Dans cet exposé, nous explorerons une théorie gravitationnelle au quatrième ordre en considérant l'espace temps comme point critique d'une courbure élastique quadratique, et donc d'ordre 4. Au delà des motivations physiques nous en étudierons la géométrie en introduisant une quantité conservée et en s'appuyant dessus pour montrer des théorèmes de rigidité et de positivité notamment grâce aux liens avec la Q-courbure.

Le flot de Ricci introduit par Hamilton dans les années 80 est une équation parabolique non linéaire sur l'espace des métriques riemanniennes d'une variété lisse fixée. Son invariance sous l'action des difféomorphismes la rend dégénérée, ce qui produit une ambiguïté vis-à-vis des questions d'existence et d'unicité. Dans cet exposé, nous établirons sous certaines hypothèses de courbure un résultat de proximité locale entre deux flots de Ricci ayant pour condition initiale un espace métrique. La vitesse de convergence en temps établie est optimale.

Extremal Kähler metrics were introduced by Calabi in the 80’s as a type of canonical Kähler metric on a Kähler manifold, and are a generalisation of constant scalar curvature Kähler metrics in the case when the manifold admits automorphisms. A natural question is when the blowup of a manifold in a point admits an extremal Kähler metric. We completely settle the question in terms of a finite dimensional moment map/GIT condition, generalising work of Arezzo-Pacard, Arezzo-Pacard-Singer and Székelyhidi. Our methods also allow us to deal with a certain semistable case that has not been considered before, where the original manifold does not admit an extremal metric, but is infinitesimally close to doing so.

Le théorème de rigidité symplectique d'Eliashberg-Gromov affirme que la limite d'une suite de symplectomorphismes convergeant au sens C^0 vers un difféomorphisme est encore un symplectomorphisme. Ce résultat suggère que l'essence de la géométrie symplectique peut se transposer sur un modèle topologique, et donc par extension sur un modèle PL. Après avoir dressé un bref cadre historique de cette géométrie symplectique PL, nous discuterons d'un résultat de flexibilité quant au immersion lagrangienne dans le cas lisse, ce qui nous conduira à présenter une construction permettant d'approcher un tore lagrangien lisse par une surface PL lagrangienne au sens C^1.

Je discuterai du problème (ouvert) à savoir si les cônes kählériens scalaire plat, et plus généralement les structures cscS, sont isolés dans leur cône de Reeb. J'expliquerai vaguement l'intérêt de répondre à cette question et ses liens avec une valeur propre du laplacien.

Soit G un groupe fini agissant sur une variété abélienne A librement en codimension 1. Les terminalisations (notamment, s'il en existe, les résolutions crépantes) du quotient A/G sont des variétés K-triviales qui, selon A et G, peuvent admettre une forme holomorphe symplectique ou non, avoir un groupe fondamental trivial, fini ou infini... Plus généralement, le type de la décomposition de Beauville-Bogomolov de telles terminalisations dépend de A et de G, et cette dépendance n'est pas entièrement transparente. Dans cet exposé, je parlerai des variétés de Calabi-Yau lisses obtenues en résolvant un quotient A/G, où G est un groupe fini agissant sur une variété abélienne A librement en codimension 2. Je rappellerai la classification due en dimension 3 à K.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu'une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l'inégalité de Bogomolov-Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker--Guenancia--Lehn.