Suite de l'exposé de la semaine précédente. Nous reprendrons la formule de Gibbs, et ce qui concerne la transformée de Legendre, avant de faire le lien entre entropie thermodynamique et entropie mathématique du système de la dynamique des fluides compressibles. Si le temps le permet nous parlerons également de transition de phase.
Cet exposé sera une introduction à la thermodynamique de l'équilibre d'un système. Au travers des trois principes fondamentaux, les notions d'énergie et d'entropie d'un système seront introduites. On construira ensuite d'autres potentiels (potentiel de Gibbs, enthalpie libre,...) et la formule fondamentale de Gibbs. Pour finir on fera le lien entre entropie thermodynamique et entropie mathématique du système de la dynamique des fluides compressibles.
On s'intéresse dans cet exposé à des équations de type Fokker-Planck non-linéaires (par exemple l'équation des milieux poreux). Après avoir rappelé les grandes lignes de la méthode d'entropie-dissipation appliquée à ce type de problèmes dans le cadre continu, on s'intéressera aux aspects concernant leur discrétisation. On verra comment construire un schéma numérique permettant de préserver au niveau discret la convergence en temps long vers l'équilibre, via la préservation des états stationnaires et la décroissance de l'entropie relative.
In this talk I will explain how Legendrian contact homology can be used to obtain positive lower bounds for the topological entropy of Reeb flows on contact 3-manifolds. As an application, we obtain many new examples of contact 3-manifolds on which every Reeb flow has positive topological entropy.
Dans cet exposé, on met en relief les relations entre entropie, entropie relative, dissipation d'energie et retour (qualitatif, quantitatif) vers l'équilibre pour quelques équations cinétiques linéaires ou non linéaires, homogènes et non homogènes (si le temps le permet).
Les EDP non linéaires de type hyperbolique admettent naturellement des solutions qui, quelle que soit la régularité de la donnée initiale, peuvent devenir discontinues en temps fini. La question se pose alors de la définition des solutions au-delà de ce temps. Pour cela, on fait naturellement appel à la notion de solution faible. On verra que celle-ci ne garantit pas l'unicité et qu'un mécanisme de sélection est à ajouter. Une des méthodes consiste à se baser sur l'utilisation de l'entropie et à imposer sa décroissance. On verra comment en déduire la stabilité et l'unicité des solutions, dites faibles et entropiques, mais aussi quelques limites (actuelles ?) de cette approche.
