Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

A consequence of Thom Isotopy Lemma is that the set of solutions of a regular smooth equation is stable under C^1-small perturbations (it remains isotopic to the original one), but what happens if the perturbation is just C^0-small? In this case, the topology of the set of solution may change, but it turns out that the Homology groups cannot "decrease". In this talk I will present such result and some related examples and applications. This theorem is useful in those contexts where the price to pay to approximate something in C^1 is higher than in C^0. For instance in the search for quantitative bounds (here the price can be the degree of an algebraic approximation) or in combination with Eliashberg's and Mishachev's holonomic approximation Theorem (which is C^0 at most).

Un groupe algébrique peut agir d'une façon birationnelle sur le plan projectif. Ces groupes ont été classifiés sur les nombres complexes et les nombres réels. Je présenterai quelques exemples définis sur des corps divers et puis j'expliquerai la façon d'attaquer leur classification sur un corps non-clos parfait arbitraire.

Dans les années 80 Nikulin a classifié tous les groupes abéliens finis qui agissent symplectiquement sur une surface K3 et ses résultats ont inspiré une étude intensive des groupes d'automorphismes finis des surfaces K3. Mukai a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini qui agit symplectiquement sur une surface K3, i.e. qui agit trivialement sur la 2-forme holomorphe, est 960 et que le groupe est isomorphe au groupe de Mathieu $M_{20}$. Ensuite Kondo a montré que l'ordre maximal d'un groupe fini quelconque qui agit sur une surface K3 est 3840 et que ce groupe contient le groupe de Mathieu avec indice quatre. Kondo a montré aussi qu'il y a une unique surface K3 qui admet l'action de ce groupe : il s'agit d'une surface de Kummer.

Le polynôme de Jones et ses généralisations coloriées utilisent seulement les représentations du sl(2) quantique de poids entiers. Ce groupe quantique spécialisé aux racines de l'unité a beaucoup d'autres représentations irréductibles. Nous expliquerons le lien entre les caractères de ces algèbres de Hopf et le groupe SL2(C). Nous présenterons la construction d' invariants pour les compléments d'entrelacs munis d'une SL2(C) connexion plate générique enrichie. Travail en commun avec Nathan Geer, Bertrand Patureau et Kolya Reshetikhin (Selecta Mathematica volume 26 (2020), arXiv:1806.02787).

Titre court pour une vaste série de questions. Étant donné A et B deux objets (sous-variétés, polyèdres, ensembles stratifiés) dans une variété M, trouver une isotopie ambiante (par exemple un flot) qui mette A immédiatement en position transverse à B ; le cas A = B est permis. Je rappellerai d’abord ce que dit René Thom sur la transversalité, à savoir sa « généricité ». Puis je dirai ce que je sais faire sur cette nouvelle question. Je conclurai en expliquant brièvement d'où elle vient.

Je montrerai que l'homologie de Floer d'un nœud fibré de genre g en degré d'Alexander 1-g est isomorphe à une version de l'homologie de Floer de la monodromie. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Gilberto Spano.

Je vais rappeler la cohomologie des algèbres de Lie semi-simples complexes. Je vais ensuite parler de la cohomologie d'algèbres de Leibniz et de celle des algèbres de Leibniz semi-simples (travail en commun avec Jörg Feldvoss, 2019). Je vais terminer par la conjecture de Pirashvili (possible caractérisation cohomologique des algèbres de Lie semi-simples) et de nos efforts (infructueux) avec Dietrich Burde de la montrer. Cela nous a mené vers une meilleure compréhension des algèbres de Lie sympathiques (i.e. parfaites, sans centre avec toutes les dérivations intérieures).