Séminaire de topologie, géométrie et algèbre

Au cours de ces dernières années, la topologie de contact C⁰ a reçu une quantité croissante d'attention avec en ligne de mire les analogues d'un théorème de Laudenbach-Sikorav (étendu par la suite par Opshtein, Opshtein-Buhovsky et Leclercq-Humilière-Seyfaddini) obtenu dans le cadre symplectique. Récemment, Dimitroglou-Rizell et Sullivan ont réussi à démontrer que les sous-variétés legendriennes fermées satisfont une forme de rigidité C⁰. Nous entamons l'étude de la topologie de contact C⁰ pour les sous-variétés de dimension supérieure. En effet, nous étudions l'action des homéomorphismes de contact sur les hypersurfaces des 3-variétés de contact. Nous démontrons que le type d'homéomorphisme du feuilletage (singulier) caractéristique est rigide au contraire de son type de difféomorphisme. Nous construirons également un nœud "sauvage" pour le topologie de contact C⁰.

Il s'agit d'un travail en collaboration en partie avec Maksim Stokić.

Au cours de cette exposé, je vais introduire la question suivante et discuter des différentes approches possibles permettant d'y répondre:

Problème d'algébricité sur Q: (Parusi\'nski, 2021) Tout ensemble algébrique de $R^n$ est-il homéomorphe à un ensemble Q-algébrique de $R^m$ avec $m \geq n$?

Je vais donner une réponse positive dans le cas des ensembles algébriques réels nonsinguliers et compacts, en démontrant une version sur Q du célèbre théorème de Nash-Tognoli. Si le temps le permet, je discuterai également comment une version relative de ce théorème permet aussi d'aborder le problème d'algébricité sur Q dans le cas singulier, en donnant une réponse positive dans le cas à singularités isolées.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Riccardo Ghiloni.

Un des premiers problèmes de Géométrie Énumérative étudiés fut le comptage de droites dans hypersurfaces génériques. Par example, on sait qu’une surface cubique générique dans l'espace projectif tridimensionnel contient 27 droites sur le corps des nombres complexes. Dans cet exposé, on se propose d’étudier ce problème sur d'autres corps. La première question à examiner dans ce cas est « comment obtenir des réponses indépendantes de l’hypersurface? ». Sur les nombres réels, chaque droite doit être comptée avec un signe +1 ou -1. En général, les signes deviennent des formes quadratiques. La deuxième question apparaît naturellement: quelle est l’interprétation géométrique de ces formes quadratiques? On explique comment répondre à cette question pour presque tous les corps en généralisant des idées de Finashin et Khalarmov sur les nombres réels. Ce travail est en collaboration avec Sabrina Pauli et Stephen McKean.