Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Comment se fait-il, se demande l'un de nous, qu'il "faille" le flot de Ricci pour prouver un énoncé purement algébrique ? Cela témoigne sans doute du talent de Stallings, un des fondateurs de la théorie géométrique des groupes. Je tenterai de présenter cette équivalence. Au passage, je raconterai les trois-petits-points du titre.

L'homologie d'intersection telle qu'introduite par Goresky et MacPherson permet de généraliser la dualité de Poincaré aux pseudovariétés. Cette généralisation est valable sur un corps, son extension à l'homologie d'intersection à coefficients entiers est plus délicate. Le but de cet exposé est de proposer une extension de la dualité de Poincaré pour l'homologie d'intersection à coefficients dans un anneau commutatif. Cette généralisation passe par l'introduction d'une nouvelle théorie cohomologique pour les espaces singuliers et par la construction de cup et cap produits au niveau chaînes et cochaînes d'intersection.

A classical theorem of McDuff and Segal states that the sequence of unordered configuration spaces Cn(M) associated to a connected, open manifold M satisfies a phenomenon called homological stability. This means that in each fixed degree q, the sequence of homology groups Hq(C_n(M)) is eventually constant. On the other hand, it is well-known that this fails for closed manifolds -- although some conditional results are known if one takes homology with coefficients in a more general ring than the integers.

Il y a maintenant une trentaine d'années, Jones changeait la face de la topologie de la basse dimension en introduisant un nouvel invariant des noeuds, basé sur des considérations purement algébriques. La structure importante dans son contexte était une algèbre de Hecke, objet originaire de la théorie des représentations des groupes algébriques réductifs et de la théorie des groupes de réflexions. Dans un travail récent avec E. Wagner (Dijon) nous exhibons une extension centrale de cet objet et montrons le résultat surprenant que les arguments de Jones s'étendent à cette nouvelle structure et permettent de définir un invariant numérique des noeuds que l'on ne sait pour l'instant pas relier aux invariants classiques.

L'exposé sera consacré à une version de l'alternative de Tits pour le groupe des automorphismes d'un produit libre. Un théorème de Grushko affirme que tout groupe de type fini se scinde en un produit libre de la forme G=G1*...*Gk*F_N, où chaque facteur G_i est non trivial, non isomorphe à Z, et librement indécomposable. Je montre que si chacun des groupes G_i et Out(G_i) satisfait l'alternative de Tits, alors Out(G) la satisfait également. Je donnerai quelques applications de ce théorème, et j'en présenterai une démonstration, en parallèle avec une preuve nouvelle de l'alternative de Tits pour le groupe modulaire d'une surface compacte orientable.

(Travail en collaboration avec Paul Balmer et Beren Sanders.) Dans les années 90's, Amnon Neeman a su redémontrer de façon élégante la dualité de Grothendieck en géométrie algébrique grâce à des techniques empruntées à la topologie, telles les colimites homotopiques et la représentabilité de Brown ; le cadre permettant ce commerce d'idées est celui des catégories triangulées. En 2003, Fausk, Hu et May ont remarqué la forte analogie formelle entre la dualité de Grothendieck et l'isomorphisme de Wirthmüller en homotopie stable équivariante; il s'agit d'étudier l'existence de foncteurs adjoints à droite et à gauche d'un foncteur tensoriel, et les relations entre eux.

Une partie des avancées récentes dans l'étude du groupe de Cremona (ou groupe des transformations birationnelles du plan projectif) repose sur l'action de ce groupe sur une version de dimension infinie du disque hyperbolique. Ceci n'était pas complètement inattendu : en se restreignant à des sous-groupes naturels, on obtient de manière transparente des actions sur d'autres espaces hyperboliques : sous-groupe GL(2,Z) des transformations monomiales agissant sur le disque de Poincaré, et de façon moins anecdotique sous-groupe des automorphismes polynomiaux agissant sur son arbre de Bass-Serre... Après avoir rappelé ce contexte et quelques résultats en dimension 2 (description des centralisateurs, sous-groupes normaux, spectre dynamique...), je discuterai de travaux récents (voire en cours)

Le span de la variable q dans la représentation de Lawrence-Krammer-Bigelow est égal à deux fois la longueur duale de Garside d'une tresse, comme conjecturé par Krammer. Dans cet exposé j'expliquerai d'abord ce que cet énoncé veut dire. Ensuite, je ne donnerai pas toute la démonstration, mais j'expliquerai juste un lemme clé : la longueur duale d'une tresse peut être lue d'une façon naïve et surprenante dans le diagramme de courbes de la tresse. Il s'agit d'un travail avec Tetsuya Ito.

CoqHoTT: Coq for Homotopy Type Theory

Dans cet exposé, je parlerai de plongements symplectiques de domaines toriques en dimension quatre et d'un nouveau résultat qui relie l'espace des trajectoires des billes sur une table de billard avec un domaine torique. J'expliquerai comment certaines capacités symplectiques qui dérivent de l'homologie de contact plongée peuvent être utilisées pour montrer que certains plongements sont optimaux.