Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé je décrirai la construction de deux classes de variétés non kählériennes. Dans chaque cas, le point de départ est le choix d'un corps de nombres et nous verrons comment la théorie des nombres intervient pour démontrer des propriétés géométriques de ces variétés.

C'est un travail en collaboration avec André Joyal. Le résultat fondamental est que la catégorie des dg-coalgèbres est monoïdale fermée et que la catégorie des dg-algèbres est enrichie, bicomplète et monoïdale sur celle des dg-coalgèbres. Cette structure produit six opérations sur les algèbres et coalgèbres qui peuvent être utilisées pour construire plusieurs type d'adjonctions entre les catégories d'algèbres et de coalgèbres. Nous retrouvons ainsi nombre d'adjonctions déjà connues (algèbres de jets, dualité algèbre-cogèbre...) en particulier nous retrouvons un nouveau point de vue sur l'adjonction bar-cobar.

La K-théorie algébrique des anneaux et corps de nombres satisfait à une forme de périodicité, étroitement liée à la célèbre périodicité de Bott en K-théorie topologique. John Rognes a conjecturé que, dans la perspective plus large de la K-théorie de Waldhausen, ceci n'est que l'exemple d'un décalage chromatique systématique. Dans cet exposé, je présenterai cette conjecture et une tentative de l'étudier à l'aide de la K-théorie itérée.

Chart descriptions are a graphic method to describe monodromy representations of various topological objects. Here we introduce a chart description for hyperelliptic Lefschetz fibrations, and show that any hyperelliptic Lefschetz fibration can be stabilized by fiber-sum with certain basic Lefschetz fibrations. This is a joint work with Seiichi Kamada.

In my talk I will elaborate on a result of I. Hambleton and M. Kreck, which gives classification of topological 4-manifolds with finite odd order fundamental groups. In order to present the proof of this theorem I will describe the modified surgery theory invented by M. Kreck.  Modified surgery gives a very general method allowing to tackle problems of classification nature.

Si Y est une 3-variété topologique compacte, connexe, fermée et orientée, on peut lui associer son homologie de Heegaard Floer HF(Y) et son homologie de contact plongée ECH(Y); par un théorème de Colin, Ghiggini et Honda ces deux homologies sont isomorphes (comme groupes). D'un autre coté, si K est un noeud dans Y on peut aussi définir des homologies de Heegaard Floer HFK(K,Y) et de contact plongée ECK(K,Y) pour K. Conjecture: HFK(K,Y) est isomorphe à ECK(K,Y). Dans cet exposé on rappellera les definitions des homologies ci-dessus dans le cas où K est un noeud fibré et on donnera des indices de la véracité de la conjecture.

On définit une version S^1-équivariante de l'homologie symplectique via diverses approches. On montre que, pour des coefficients rationnels, l'homologie de contact linéarisée est isomorphe à la partie positive de l'homologie symplectique S^1-équivariante. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Alexandru Oancea.

This talk will introduce a new invariant of tangles derived from Khovanov homology. As application, this may be used to construct an invariant of strong inversions of knots in the three-sphere and, in turn, produces an object that is quite sensitive to non-amphicheirality. Surprisingly, this new invariant picks up information that is not detected by the Jones polynomial or, more generally, Khovanov homology.

Is it possible to find an embedded Lagrangian disk in \C^n - B^2n, so that the boundary is a Legendrian in S^{2n-1}? When n=2 the answer is no, but in all higher dimensions such disks exist in abundance. This follows from a more general existence theorem for Lagrangian embeddings with loose concave boundary; in this two-part talk we precisely state and prove this theorem. The proof has two main components: an action-balancing lemma for Lagrangian immersions, and a Lagrangian Whitney trick. We discuss the proof of both, in particular discussing how they both rely on the classification theorem for loose Legendrians. This project is joint work with Yakov Eliashberg.

Si on a une algèbre de Lie sur un corps K, son opérateur de Koszul est l'application linéaire envoyant une 2-forme symétrique invariante B sur la 3-forme alternée invariante J_B(x,y,z)=B(x,[y,z]). Par restriction et composition, cela définit un opérateur vers la cohomologie en degré 3 de l'algèbre de Lie, appelé opérateur de Koszul réduit; dans le cas semi-simple c'est un isomorphisme (Chevalley-Eilenberg, Koszul). L'opérateur de Koszul réduit joue un rôle important dans la description Neeb et Wagemann décrivant la 2-cohomologie des algèbres de courant (c'est-à-dire l'algèbre de Lie sur K obtenue par tensorisation avec une K-algèbre commutative). On donnera notamment des résultats d'annulation et de non-annulation de cet opérateur.