Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, nous définirons un complexe de Floer d'intersection lagrangienne associé à deux cobordismes lagrangiens entre variétés legendriennes. Nous montrerons ensuite que les groupes d'homologie associés font partie d'une suite exacte longue dont les autres termes sont les groupes d'homologie de contact legendriennes bilinéarisées des extrémités. Parmi les applications nous déduirons des obstructions à l'existence de concordances lagrangiennes et nous donnerons des restrictions sur l'homologie des cobordismes lagrangiens. Ce travail est une collaboration avec Paolo Ghiggini.

The Gromov-Eliashberg theorem states that a diffeomorphism which can be written as a C^0 limit of symplectomorphisms is itself a symplectomorphism.  In this talk, I will show that coisotropic submanifolds and their characteristic foliations exhibit similar rigidity properties.  This is joint work with Vincent Humiliere and Remi Leclercq.

Le théorème de Gromov-Eliashberg affirme que toute limite C^0 d'une suite de symplectomorphismes est symplectique. Cette rigidité a ouvert la voie à la géométrie symplectique C^0 qui étudie les analogues continus des objets classiques. Un résultat fondateur de la dynamique hamiltonienne C^0 a été l'unicité des "générateurs": toute fonction hamiltonienne continue qui est la limite uniforme d'hamiltoniens, dont les flots convergent vers l'identité, est nécessairement nulle. Je vais expliquer une généralisation de ce résultat où la distance C^0 est remplacée par d'autres distances naturelles ainsi que certaines de ses conséquences. Ceci résulte d'une collaboration avec V. Humilière and S. Seyfaddini.

Recent progress on the nearby Lagrangian conjecture has revealed that a closed (compact without boundary) exact Lagrangian in a cotangent bundle is homotopy equivalent to the base. Another recent result by Abouzaid has shown that for some spheres it in fact has to be diffeomorphic to the base. There is, however, a similar question of interest yet in a slightly different direction. Since Lagrangian immersions satisfies an h-principle they are easy to classify, and odd dimensional spheres has an infinite number of classes up to regular isotopy. However, the question: which immersions classes admits an embedded representative is hard.

J'expliquerai comment estimer les nombres de Betti moyens des lieux réels d'hypersurfaces réelles prises au hasard dans une grande puissance tensorielle d'un fibré ample réel hermitien sur une variété projective réelle lisse. Les estimées L2 de Hörmander jouent un rôle crucial dans ces estimations. C'est un travail en commun avec Damien Gayet.

We will discuss obstructions to and constructions of Lagrangian cobordisms between Legendrian submanifolds of the contact Euclidean space. In addition, we will introduce the spherical spinning construction and will construct infinitely many not pairwise Legendrian isotopic Legendrian S^1 x S^{i1} x ... x S^{ik} which have the same classical invariants.

We show that pseudo-holomorphic polygons in a Liouville-domain can be lifted to the symplectization of its contactization. In particular, Legendrian contact homology may equivalently be defined by counting either of these objects. We use this fact to prove an isomorphism between the linearized Legendrian contact homology induced by an exact Lagrangian filling and the singular homology of the filling, a result which was first conjectured by Seidel.

J'introduirai des sous-quotients fondamentaux obtenus à partir d'un multi-complexe de Koszul et j'en démontrerai une propriété d'annulation. Ensuite j'expliquerai les conséquences cohomologiques profondes de cette propriété, notamment dans le calcul de la cohomologie (généralisée) de produits finis de l'espace projectif infini réel.

La symplectisation d'une variété de contact $M$ est une variété symplectique $SM$ difféomorphe à $\R \times M$. Question : si $SM$ et $SM'$ sont symplectomorphes, $M$ et $M'$ sont-elles alors contactomorphes ?

Dans cet exposé, on verra que la réponse est non et on construira des contre-exemples en grande dimension à partir de $h$-cobordismes non triviaux et des propriétés de flexibilité de certains cobordismes symplectiques.

Plusieurs travaux récents utilisent la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira pour obtenir des résultats de géométrie symplectique. Le lien entre les faisceaux sur une variété $M$ et la géométrie symplectique de son cotangent $T^M$ est donné par le microsupport. Le microsupport d'un faisceau est un sous-ensemble conique co-isotrope de $T^M$.

Nous verrons deux situations où on sait associer un faisceau à une sous-variété lagrangienne conique $L$ d'un cotangent: le cas où $L$ est le graphe d'une isotopie hamiltonienne et celui où $L$ provient d'une sous-variété exacte compacte (dans ce cas le faisceau peut être vu comme une généralisation des fonctions génératrices) Nous verrons comment en déduire des conséquences géométriques.