Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche aux méthodes Volumes Finis d'ordre très élevé pour les systèmes de lois de conservation que j'ai développée durant ma thèse. Dénommée MOOD pour Multi-dimensional Optimal Order Detection, elle se base sur un traitement a posteriori (par décrémentation locale de l'ordre du schéma) des problèmes numériques engendrés par l'ordre élevé (phénomènes de Gibbs, création de valeurs non physiques...) contrastant ainsi avec les limitations a priori des méthodes classiques MUSCL ou WENO. Cette approche permet d'obtenir facilement des propriétés qui sont habituellement difficiles à prouver dans le cadre multi-dimensionel non-structuré (préservation de la positité par exemple). Pour finir je montrerai un ensemble de tests numériques 2D et 3D qui ont démontré la qualité de la méthode MOOD et son gain en termes de ressources informatiques (CPU et mémoire) par rapport aux méthodes déjà existantes.

Afin de déterminer le rang d'une matrice inconnue, on peut tester si elle est de rang m ou plus (pour m=0,1,....). Possédant un estimateur de la matrice, on utilise une statistique égale à la distance entre l'estimateur et la sous-variété des matrices de rang m. La loi asymptotique d'une telle statistique, sous certaines conditions, est un chi2 pondéré. Un test statistique classique compare la valeur de la statistique à un quantile de sa loi asymptotique afin de rejeter ou non l'hypothèse nulle. Une deuxième possibilité est de comparer la statistique à un quantile calculé par bootstrap. Cette deuxième option est préférable car bien souvent la loi de la statistique est plus proche de sa loi bootstrap que de sa loi asymptotique (voir par exemple livre de P. Hall, Bootstrap and Edgeworth expansion). Dans le cas de l'estimation de rang, les statistiques utilisées résultent d'une optimisation sous contrainte et il n'existe pas de procédure bootstrap générale. Nous présentons, dans un premier temps, le bootstrap contraint qui est une méthode permettant de reproduire la loi d'estimateurs contraints. En particulier, nous démontrons la consistance du test d'appartenance à une sous-variété sous des hypothèses aussi faibles que celles nécessaires au test classique. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'estimation du rang d'une matrice par test d'hypothèse. Plus précisément, on applique les résultats de la première partie afin d'obtenir le bootstrap de trois statistiques issues de cette littérature. Enfin nous proposons une application à la réduction de la dimension en régression. (Travail en collaboration avec Bernard Delyon.)

Titre : Theory and applications of reaction-diffusion equations

Reaction-diffusion equations describe numerous applications, such as flame propagation, tumour growth or competition of species in population dynamics. After a short introduction to the theory of reaction-diffusion equations, we will discuss reaction-diffusion waves in more detail. From the mathematical point of view, they represent solutions of elliptic boundary value problems in unbounded domains. The classical theory of elliptic partial differential equations will be recalled and some recent developments will be presented.

Affiche

On construit des graphes entiers et anneaux dans H^2xR de courbure moyenne constante 1/2 par déformation d'exemples de révolution. Ces déformations viennent avec un contrôle du comportement asymptotique. Les graphes entiers vérifient une propriété de demi-espace dont on déduit un résultat d'unicité par rapport au comportement asymptotique. D'autre part, on obtient l'existence d'anneaux asymptotiquement de révolution mais dont les bouts ont des axes différents.

Travail en collaboration avec Andrew Clarke (IMPA) et Yuji Sano (Kumamoto University). Les métriques de Kähler à courbure scalaire constante (CSCK) ou extrémales peuvent être définies comme les points critiques de fonctionnelles de Mabuchi. D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques \sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées dans le cadre de la recherche des métriques extrémales. On démontre que ce contexte, et les techniques développées par Donaldson, permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi relative à l'action du champ extrémale. L'existence d'une borne inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites déformations complexes préservant l'action. Les arguments employés ici sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi d'une part, et Chen et Tian d'autre part. On en discutera les différences, avantages et inconvéniants

Behrend-Fantechi puis Baranovsky-Ginsburg construisirent une structure de Gerstenhaber sur la cohomologie d'intersection de deux variétés coisotropes. Nous montrerons que cette construction se comprend fort bien à partir de la structure L-infinie que l'espace normal d'une sous-variété coisotrope est bien connue posséder. L'existence de quantifications de ces dernières, montrée par Cattaneo et Felder, joue un rôle surprenant dans cette construction.

English version: As shown by Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginsburg, the intersection cohomology of two coisotropic submanifolds admits a structure of Gerstenhaber algebra. We relate this construction to the L-infinity structure that the cotangent space of a coisotropic submanifold is known to be endowed with. In the process, the existence of quantizations of those is shown to play a role.

Joined work with Florian Schätz and Ping Xu, with the participation of Gregory Ginot and Mathieu Stiénon.

La thèse de Salim Rivière porte sur l'isomorphisme entre cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie et cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante. Les deux sont isomorphes et l'isomorphisme est induit par l'antisymétrisation des cochaînes. Le travail de Salim a été de définir un morphisme de complexes explicit qui devient inverse à l'antisymétrisation au niveau de cohomologie. La dernière partie de la thèse établit un lien de ce morphisme avec l'intégration de cocycles d'algèbres de Lie en cocycles de groupes.

Homological representations of braid groups are defined as the action of homeomorphisms of a punctured disk on the homology of an abelian covering of its configuration space. These representations were extensively studied by Lawrence, Krammer and Bigelow. In this talk we show that specializations of the homological representations of braid groups are equivalent to the monodromy of the KZ equation with values in the space of null vectors in the tensor product of Verma modules when the parameters are generic. To prove this we use representations of the solutions of the KZ equation by hypergeometric integrals due to Schechtman, Varchenko and others. We describe the action of quantum groups on the space of homology with local coefficients and recover quantum symmetry in homological representations.

Suite à ces travaux en K-théorie, J.-L. Loday a introduit une version non-commutative des algèbres de Lie et de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg : les algèbres de Leibniz et leur cohomologie. De la même façon que la cohomologie de Chevalley-Eilenberg est la version linéarisée de la cohomologie de groupe, J.-L. Loday a conjecturé l'existence et quelques propriétés d'une nouvelle théorie de cohomologie pour les groupes dont la version linéarisée est la cohomologie de Leibniz. Dans cette exposé, après avoir rappelé les liens entre racks, groupes, algèbres de Leibniz et algèbres de Lie, nous verrons que la cohomologie de rack, définie pour les groupes, satisfait certaines des propriétés attendues. En particulier nous verrons que la cohomologie de rack est munie d'une structure d'algèbre Zinbiel (et donc, a fortiori, d'algèbre commutative) induite par un scindement du cup product habituel.